Перед выступлением в цикле "Публичные лекции "Полит.ру" математика, канд. физ.-мат.наук, старшего научного сотрудника ИППИ РАН, научного сотрудника LIRMM CNRS (Франция, Монпелье) Александра Шеня, которое состоится в четверг, 6 марта 2014 года, мы поговорили с ним о теории сложности, Колмогорове и литературе. Беседовала Наталия Демина.

Аннотацию к своей лекциивы начали с рассказа о пьесе «Розенкранц и Гильденстерн мертвы». Любите ли Тома Стоппарда, как люблю его я?

Боюсь, что нет. Я человек темный. Фильм по пьесе Стоппарда мне показали на конференции просто как иллюстрацию к основаниям теории вероятностей (это не моя идея, а Софи Лаплант) – там показали только первый кусочек, где Розенкранц и Гильденстерн бросают монетку. После этого я пытался посмотреть этот фильм целиком — но мало что понял. И пьесу пытался читать в переводе Бродского, но тоже как-то… Современное искусство – вещь малодоступная. Так что для меня это скорее математический пример, чем проявление моего художественного вкуса.

Вы говорили, что для Колмогорова теория сложности была последним научным проектом. Почему он к этому пришел? Откуда он шел и куда пришел?

Вообще-то в 60-е годы он в основном занимался школьными делами. Интересно, что это не случайно так вышло –  у него была такая идея, причем очень давно.  В дневниках, обнаруженных при разборе его архива, нашлась специальная таблица: какую часть своей жизни чем он планирует заниматься, составленная еще в молодости.  И там было написано, что в старости он предполагает заниматься преподаванием школьникам. Так и вышло – в 60-ые годы основной сферой его деятельности было школьное образование.

Но помимо школьного образования он продолжал одну тему: обоснование теории вероятности. Он всегда этим интересовался, еще в 30-е годы написал книжку «Основания теории вероятности», где предложил то,  что называется теперь колмогоровской аксиоматикой. Потом он писал разные статьи на тему оснований теории вероятности, а в начале 60-х вышла статья «О таблицах случайных чисел», и потом уже его знаменитые работы про колмогоровскую сложность (первая в 1965 году). Так что про основания теории вероятности он думал всю жизнь.

А теория сложности была продолжением этих размышлений?

Да, теория сложности, алгоритмическая теория вероятности и информации – это один круг вопросов: как измерять количество информации и как определять случайность для индивидуальных объектов. Колмогоров интересовался работами Клода Шеннона по классической, «шенноновской» теории информации. Когда появился русский перевод книги  Шеннона («Работы по теории информации и кибернетике», 1963), вышла забавная история. Колмогоров удивлялся и говорил – странно, что Шеннон не пошел дальше, не сделал того и этого. А выяснилось, что это просто при переводе было пропущено.

Теория сложности – это такая интересная вещь на стыке математической логики, теории вероятности, наконец, философии в хорошем смысле этого слова. Там есть интересные математические вопросы, кроме того, они имеют общежитейский интуитивный смысл.

Нет ли у вас совместных фотографий с Колмогоровым?

К сожалению, фотографии с Колмогоровым у меня нет, зато есть рукопись одной из его последних статей – когда я дежурил у него дома, он готовил её издание (в своё время она не была издана из-за проблем с советской властью), и соответственно она была перепечатана, а оригинальную рукопись выбросили в мусорную корзину – и я не выдержал и оттуда её унёс – там видно, как Колмогоров прямо во время печати на машине работал над текстом, зачёркивал, исправлял, вписывал формулы и пр. В.А. Успенский говорил, что в нормальной стране давно был бы музей Колмогорова (и даже «колмогорововедение» как есть «пушкиноведение») – увы, музея такого нет (хотя дача сохраняется в мемориальном состоянии) и даже много колмогоровских текстов до сих пор не опубликовано, так что сдать рукопись пока некуда...

Рукопись статьи с пометками А.Н. Колмогорова. Из архива А. Шеня

А вы можете «на пальцах» объяснить, что такое алгоритмическая теория вероятности и информации?

Можно начать с того же примера про Розенкранца и Гильдестерна. Почему, если подряд выпадает сто орлов, то человек волнуется – что-то пошло не так? Ведь если выпадает другая последовательность, то это кажется нормальным. Хотя и та и другая имеют одну и ту же малую вероятность, 2^-100 (2 в степени -100), тем не менее, воспринимается это по-разному. Единственное интуитивно правдоподобное объяснение, которое можно предложить: одна из них это – простая последовательность, мы видим её закон и это нас удивляет. А если мы наблюдаем какую-то последовательность, в которой нет видимого закона, то это не удивительно.

Возникает вопрос, что значит «закон»? Как это сказать более точно? Ответ Колмогорова был таков: закон – это то, что позволяет задать последовательность короче, чем написав все ее члены подряд. Соответственно, если у нас последовательность состоит из нулей, то мы говорим «столько-то нулей», и это коротко. А если там последовательность нулей и единиц в не поймёшь каком порядке, то, может быть, никак короче ее описать нельзя.

А используете ли вы в своих исследованиях компьютер или обходитесь бумагой и ручкой?

Как все математики,  я пишу статьи с помощью компьютера, но реально это теоретическая деятельность. Никаких численных экспериментов я не провожу.  Витаньи и Силибраси проводили интересные эксперименты по классификации данных с помощью идей колмогоровской сложности, но это отдельная тема. Они классифицировали файлы в группы близких в смысле «информационного расстояния», проводя интересные компьютерные опыты. Но я к этому не имею отношения – хотя постараюсь рассказать, что про это слышал.

А что посоветуете почитать про теорию сложности? Есть ли научно-популярные книги на эту тему?

Мы с моим учителем Владимиром Андреевичем Успенским и с Колей Верещагиным  недавно целую книжку написали. «Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность» (Верещагин Н.К., Успенский В.А., Шень А.Х.) вышла в издательстве МЦНМОв 2012 году и есть в Интернете. Вряд ли её кто-то прочитает целиком — но там есть научно-популярное введение, с десяток страниц под названием «О чём эта книга?». Дальше первая половина книги – это более-менее учебник, вторая половина – это в заметной части работы, сделанные участниками «Колмогоровского семинара».

Вы сейчас в Москве и весной уедете во Францию. Над чем вы сейчас работаете?

Даже находясь в Москве, я являюсь научным сотрудником CNRS  (Центра национальных научных исследований) Франции, в лаборатории LIRMM, г. Монпелье. Они меня любезно отпускают в Москву. Сейчас они еще командировали моего бывшего аспиранта Лорана Биенвеню в Москву –  у них есть здесь представительство, лаборатория им. Понселе, я там вместе с ним сейчас.

А чем занимаетесь? Какая у вас сейчас область исследования?

Алгоритмическая теория вероятностей, статистика. Конкретно сейчас я уже почти просрочил дед-лайн – я должен написать обзор про колмогоровскую сложность, заказанный моим коллегой, работающим Лондоне (кстати, тоже бывшим участником нашего семинара, он был одним из последних учеников Колмогорова – Володей Вовком, сейчас очень известным математиком).

Можно ли сказать, что вы один из лучших экспертов в мире по этой теме?

В области колмогоровской сложности? Тоже нет, хотя этой темой не так уж много людей занимается. Есть группы во Франции,  Германии, США – странным образом необычно много сильных людей из этой области сконцентрировались в Новой Зеландии. Но это узкая область, а не большое научное направление, которым бы занимались тысячи людей – не вычислительная биология, и даже не теория сложности вычислений.

То есть она не связана с быстроразвивающимися областями науки?

Нет.

Есть ли у этой темы прикладные приложения?

Нет. Я бы не сказал. Это может быть ориентир для людей, которые занимаются чем-то прикладным. Но не так чтобы «сегодня математик доказал, завтра инженер применил».

Вы общались с Колмогоровым, что вас больше всего поражало в нем?

На самом деле, я с ним начал реально общаться, когда он был уже очень болен. Он тогда уже с трудом ходил. Несмотря на это, он предложил организовать семинар на мехмате МГУ под названием «Сложность определений и сложность вычислений» – сейчас по традиции он называется «Колмогоровский семинар», он проходит уже много лет каждый понедельник. Колмогорова нужно было приводить на этот семинар, он почти ничего не видел. Но, тем не менее, он открыл этот семинар своим докладом. Я жалею, что не записал доклад на магнитофон, у меня только сохранились записи на бумаге. Это был один из его последних докладов.

Потом, когда он уже совсем заболел (у него была болезнь Паркинсона), его ученики и коллеги постоянно у него дежурили, ведь он сам не мог встать. Соответственно, кто-то постоянно был с ним, помогал ему круглосуточно. Он уже говорил с трудом, но рассказывал разные вещи, мы слушали пластинки – у него была большая коллекция пластинок. У него в гостях я услышал записи французского певца Жерара Сюзи (Gérard Souzay), про которого раньше ничего не знал – потом уже нашёл кое-что (а теперь это легко найти в Youtube). А также я в первый раз подробно прочёл том стихотворений Тютчева, читая их ему вслух (он сам уже не видел).

Еще Андрей Николаевич рассказывал немного про свою жизнь, во время войны он жил в Комаровке, про налеты авиации. В какой-то момент у него в доме размещался военный штаб. А когда-то в послереволюционный период он сам сделал себе ботинки с деревянными подошвами.

Люблю спрашивать людей, что они читают. Успеваете ли вы читать нематематическую литературу?

Почти нет. Бывает, конечно, что перед сном я читаю стихи или что-то еще, но чтобы систематически… У меня одних неотвеченных email’ов примерно на полмесяца. А чтобы что-то  читать, нужно расслабиться и решить, что срочных дел нет.

Не планируете ли вы стать автором научно-популярной книги?

Я обещал написать книжку для школьников – Саша Спивак (замечательный преподаватель и руководитель кружков) попросил меня прочесть лекцию на малом мехмате МГУ для его школьников, и я после лекции обещал это записать, собираюсь это сделать уже года три, но пока всё никак.

Владимир Игоревич Арнольд говорил, что Пастернак для него «математический» поэт. У вас есть поэт, которого вы считаете «математическим»? Есть ли такой, которого вы считаете по логике мышления похожим на исследователя в области теории вероятностей, колмогоровской сложности?

Можно пытаться проводить аналогии, но вряд ли они такие уж глубокие. Есть стихотворение Пастернака, которое часто упоминается в связи с колмогоровской сложностью:

...В родстве со всем, что есть, уверясь
И знаясь с будущим в быту,
Нельзя не впасть к концу, как в ересь,
В неслыханную простоту.
Но мы пощажены не будем,
Когда ее не утаим.
Она всего нужнее людям,
Но сложное понятней им. 

Израиль Моисеевич Гельфандлюбил эти два четверостишия цитировать (но немного другому поводу, говоря о распознавании образов).

Спасибо за интервью!

К 10 тыс. рублей штрафа по статье 20.2 КоАП приговорен главный научный сотрудник Математического института РАН, президент Московского математического общества, академик РАН Виктор Васильев за участие в «несанкционированном митинге» у стен Замоскворецкого суда 21 февраля. Такой приговор сегодня, 5 марта 2014 года, ему вынесла судья Наталья Чепрасова, не приняв во внимание ни доводы адвоката, ни показания двух свидетелей. 

В протоколе задержания Васильева было, в частности, написано, что 57-летний академик оказывал активное сопротивление сотрудникам полиции при задержании. Эта фраза, зачитанная судьей, вызвала смех в зале, после чего Наталья Чепрасова сказала, что если кто-то еще засмеется, то будет выведен из зала. «Вы не разрешаете залу смеяться, но вы же видите, какое сопротивление я могу оказать ОМОНовцу», – заметил Виктор Васильев, поворачиваясь в сторону судебного пристава. Он также подчеркнул, что 21 февраля пришел к зданию суда в 11.35, заранее, чтобы присутствовать не на каком-то митинге, а на публичном оглашении приговора по делу «6 мая», но суд был огорожен. Лозунга «Один за всех и все за одного» он не выкрикивал. «Это – не мой лозунг», – заявил академик. В протоколе же и приговоре академику в вину вменялось выкрикивание этих слов. 

Оба свидетеля – Виктор Прасолов и Владимир Уралов – показали, что пришли в тот день, чтобы присутствовать на оглашении приговора. Войти в суд они не могли, так как вход в него был огорожен, и они спокойно ждали у здания суда. Они видели, что академик Васильев так же спокойно стоял, никаких плакатов не держал и лозунгов не выкрикивал. При задержании он вел себя совершенно спокойно, сопротивления не оказывал. Наоборот, было видно, о чем свидетельствует и фотографии, что ОМОНовец лишь сопровождал Васильева, направлявшегося к автозаку. 

На суд поддержать известного математика пришли многие научные сотрудники. Среди них – академик РАН Александр Кулешов, физик Михаил Фейгельман, математик Александр Шень, биофизик Андрей Цатурян, лингвист Ирина Левонтина. 

Приговор Виктору Анатольевичу был встречен зрителями бурными аплодисментами, после чего судебные приставы тут же стали выпроваживать людей из зала. Виктор Васильев в комментарии телеканалу «Дождь» сказал, что пока не знает, будет ли обжаловать приговор. Он высказался в том смысле, что ему жаль тратить на это время. 

Перед этим корреспондент «Полит.ру» был свидетелем еще трех судебных заседаний, которые вела та же судья. Режиссер Павел Бардин, инженер Дмитрий Ильяшев и пенсионер Евгений Петренко были задержаны 21 февраля, у них были разные обстоятельства дела, разное время задержания, но все они, судя по протоколам полиции и приговорам Чепрасовой, оказывали активное сопротивление у здания суда, и выкрикивали одни и те же лозунги.

На судью даже не произвели впечатления показания свидетеля, что Ильяшев был задержан не на Большой Татарской у здания суда, а на Тверской улице, как было написано в протоколе. Евгений Петренко признался, что за несколько секунд до задержания сказал стоявшим впереди милиционерам «Стыдно-то как, ребятушки», а не те лозунги, что вменялись ему в протоколе. Всех троих судья приговорила к 10 тыс. штрафа по статье 20.2 КоАП. 

Сегодня, 6 марта 2014 года, состоится лекцияизвестного математика и популяризатора науки – Александра Шеня,  кандидата физико-математических наук, старшего научного сотрудника ИППИ РАН, научного сотрудника LIRMM CNRS (Франция, Монпелье). Его рассказ о колмогоровской сложности и основаниях теории вероятностей состоится в рамках публичных лекций «Полит.ру». 

В аннотации к лекции он отмечает, что «природа статистических законов вызывала споры с самого рождения теории вероятностей и продолжает их вызывать. Эти философские споры привели к рождению интересной математической теории: алгоритмической теории вероятностей и информации, которая – в отличие от классической – пытается дать определение индивидуального случайного объекта». В ходе лекции состоится обсуждение основных понятий этой теории и их связь с основаниями и парадоксами теории вероятностей. 

Речь пойдет также о теории сложности, основоположником которой был выдающийся российский математик Андрей Колмогоров. «Теория сложности – это такая интересная вещь на стыке математической логики, теории вероятности, наконец, философии в хорошем смысле этого слова. Там есть интересные математические вопросы, кроме того, они имеют общежитейский интуитивный смысл», – пояснил Александр Шень в комментарии «Полит.ру». 

Лекция пройдет в кафе ZaVtra по адресу: Москва, ул. Сретенка 26/1 (м. «Сухаревская»). Вход бесплатный. Начало – в 19.00. Лекция проходит при поддержке Института проблем передачи информации РАН.

6 марта 2014 года в московском кафе ZaVtra в рамках публичных лекций «Полит.ру» выступил известный математик и популяризатор науки Александр Шень с лекцией на тему «Основания теории вероятностей и колмогоровская сложность».

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ИППИ РАН, научный сотрудник  LIRMM CNRS (Франция, Монпелье) Александр Шень  рассказал о теории сложности, основоположником которой был выдающийся российский математик Андрей Колмогоров. В ходе лекций состоялось обсуждение основных понятий этой теории и их связь с основаниями и парадоксами теории вероятностей. 

О лекторе: Александр Шень преподавал в Независимом московском университете и 57-й московской школе, автор популярных книг по математике и программированию. Несколько лет вел раздел математических развлечений в журнале Mathematical Intelligencer.

Полную видеозапись лекции вы сможете в ближайшее время посмотреть на канале «Публичные лекции "Полит.ру"» в Youtube.

 Предлагаем вашему внимаю фрагмент лекции

Со словами поддержки в адрес ведущего российского математика, академика РАН, главного научного сотрудника Математического института РАН Виктора Васильева обратились члены Европейского и Американского математических обществ. Их заявления были опубликованы на cайтах обществ: www.euro-math-soc.eu и www.ams.org.

Eminent Russian mathematician detained and fined

March 6, 2014 

The Russian mathematician Victor Vassiliev, member of the Russian academy of sciences and president of the Moscow Mathematical Society, famous for the invention of Vassiliev invariants in knot theory, was arrested in Moscow on February 21, 2014, as participant of a peaceful protest in support of the defendants of the Bolotnaya Square Case; he was released shortly afterwards. On March 5, Zamoskovoretsky Court in Moscow convicted him guilty of shouting slogans and resisting detention; he will have to pay a substantial fine. Prof. Vassiliev denies both charges. Several of his academic colleagues were witnesses on his behalf confirming that the charges are false. 

The European Mathematical Society is deeply concerned about the use of the police and the courts against peaceful protest. The society expresses its warm support to Prof. Vassiliev. 

Information: http://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Anatolyevich_Vassiliev
http://lenta.ru/articles/2014/03/05/professor/ (in Russian)

Источник: http://www.euro-math-soc.eu/node/4575 

* * *

March 6, 2014 

Editor

Troitsky Variant

info@trv-science.ru

To the editor: 

I have learned on 5 March of the conviction of Academician Victor Vassiliev for his participation on 21 February, 2014 in a peaceful protest in support of the defendants in the Bolotnaya Square Case. This news is deeply disturbing. 

Cooperation between scientists in Russia and the United States has been vitally important to both countries. This cooperation persisted for many decades through the deepest political divisions, to the great benefit of science and the people in both countries. My own work has followed paths laid down more than half a century ago by Israel Gelfand and his collaborators, just as I see students now inspired by the ideas of Victor Vassiliev.

The use of the police and the courts against peaceful protest is a direct threat to this long history of cooperation. If Russian scientists who are our brothers and sisters are not secure in Moscow, then we cannot feel secure there either. 

I hope that the conviction of Academician Vassiliev can be overturned, and that the government of Russia can respect the rights of all of its citizens. Meanwhile I look forward to supporting all efforts at continuing our work together, however great the obstacles placed in the way. 

Respectfully,   

David A. Vogan, Jr.

President, American Mathematical Society

Member, NationalAcademy of Sciences

Источник: http://www.ams.org/news/vogan-vasilliev-letter.pdf

Со словами поддержки в адрес ведущего российского математика, академика РАН, главного научного сотрудника Математического института РАН Виктора Васильева обратились члены Европейского и Американского математических обществ. Их заявления были опубликованына cайтах обществ: www.euro-math-soc.eu и www.ams.org.

В заявлении Европейского математического обществаотмечается, что математик, прославившийся как автор инвариантов Васильева в теории узлов, был обвинен в том, что выкрикивал лозунги и сопротивлялся при задержании у здания Замоскворецкого суда, 21 февраля 2014 года. В тот день к зданию суда пришли те, кто хотели присутствовать при оглашении приговора по «Болотному делу». За это математика приговорили к значительному штрафу. Между тем как сам академик все эти обвинения отверг, а несколько свидетелей его слова подтвердили. 

«Европейское математическое общество глубоко озабочено использованием сил полиции и суда против мирного протеста. Общество выражает глубокую поддержку профессору Васильеву», – подчеркивается в заявлении. 

В свою очередь, президент Американского математического общества Дэйвид Воган (David A. Vogan) в письме редактору газеты «Троицкий вариант-Наука» отметил, что «использование полиции и суда против мирного протеста – прямая угроза длинной истории сотрудничества [между российскими и американскими учеными]. Если российские ученые, являющиеся нашими братьями и сестрами, не могут находиться в безопасности в Москве, то и мы не можем себя чувствовать в безопасности». 

«Я надеюсь, что приговор академику Васильеву может быть отменен и что российские власти уважают права всех своих граждан. В то же время, я надеюсь на продолжение нашего сотрудничества, какие бы препятствия не стояли на этом пути», – отмели Воган. Он также заметил, что в своей работе вдохновлялся идеями Израиля Моисеевича Гельфанда, точно так же как теперь студенты вдохновляются идеями Виктора Васильева. Оба документа опубликованыв разделе «Документы» на сайте «Полит.ру». 

Напомним, что 5 марта 2014 года президент Московского математического общества Виктор Васильев был приговорен судьей Натальей Чепрасовой  к 10 тыс штрафа по статье 20.2 КоАП за участие в несанкционированном митинге размером от 100 до 1000 человек, за активное сопротивление при задержании и выкрикивание лозунгов. Оба свидетеля – математик Виктор Прасолов и физик Владимир Уралов – подтвердили слова Васильева, что сопротивления полиции он не оказывал, лозунгов не выкрикивал и что в тот день у здания суда был не митинг, а люди пришли услышать приговор по «Болотному делу», но суд был оцеплен полицией. Пока неизвестно, будет ли академик Васильев обжаловать свой приговор. 

 

 

6 марта в рамках проекта «Публичные лекции "Полит.ру"» выступил Александр Ханиевич Шень– кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Лаборатории теории передачи информации и управления ИППИ РАН, научный сотрудник LIRMM CNRS (Франция, Монпелье). Тема его лекции «Основания теории вероятностей и колмогоровская сложность». 

В «Демографическом энциклопедическом словаре» 1985 года издания в качестве примера возрастно-половой пирамиды приводится пирамида населения Мексики на январь 1970 года. На первый взгляд в ней не было ничего необычного. По вертикальной оси отмечается возраст, по горизонтальной – количество людей, слева – мужчины, справа – женщины. Длина полосок соответствует числу лиц этого возраста.

Но, присмотревшись, можно заметить странное явление. Начиная с возраста 30 лет и далее для возрастов 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 лет мы видим, что количество людей значительно превышает число тех, чей возраст не кратен пяти. Что это? В Мексике раз в пять лет старались больше рожать? Или люди, рожденные в эти годы, обладают повышенной выживаемостью? Специалистам по демографии ответ на этот вопрос известен. Просто люди, многие из которых не были очень грамотны, на вопрос переписчика о возрасте называли округленное число. Поскольку перепись населения регистрирует все данные не по документам, а со слов опрашиваемых, итоговые данные приняли такой вид.

Здесь неожиданно обнаруженная закономерность заставила нас усомниться в верности исходных данных. А что бывает, когда мы смотрим на последовательности, полученные в результате случайных процессов? Мы бросаем монету и получаем такую последовательность (0 – орел, 1 – решка):

11011100111011111010011001101011100000111101.

Или мы бросаем шестигранную кость и получаем последовательность, например, такую:

44215665323414612456423363165524112145645692.

Вроде, ничего подозрений не вызывает. А теперь представим, что результаты бросания монеты или кости оказались иными и последовательности выглядят так:

11111111111111111111111111111111111111111111.

Или так:

100100100100100100100100100100100100100100100.

Или так:

123456123456123456123456123456123456123456123456.

Мы сразу начинаем подозревать, здесь что-то неладное. Мы удивлены, также, как удивлены были главные герои пьесы Стоппарда «Розенкранц и Гильденстерн мертвы», когда монета более восьмидесяти раз упала орлом вверх. Мы предполагаем обман, неправильную монету или какое-то еще вмешательство. Полученные результаты кажутся нам маловероятными.

Между тем, они ничуть не менее вероятны, чем любые другие. Последовательное выпадение одних орлов имеет такую же вероятность, как и любой другой набор орлов и решек. Ведь итог каждого испытания не зависит от итогов предыдущих. И выпадение пяти решек подряд ничуть не увеличивает вероятность выпадения орла в шестой попытке.

Кстати, этот принцип независимости результата от предыдущих испытаний часто противоречит интуиции человека, а порой с гневом им отвергается. Александр Шень привел цитату из рассказа Эдгара Аллана По «Тайна Мари Роже», в котором автор с видом знатока теории вероятностей утверждает прямо противоположное:

«Это одна из тех аномалий, которые, хотя и чаруют умы, далекие от математики, тем не менее полностью постижимы только для математиков. Например, обычного читателя почти невозможно убедить, что при игре в кости двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий раз и дает все основания поставить против этого любую сумму. Заурядный интеллект не может этого воспринять, он не может усмотреть, каким образом два броска, принадлежащие уже прошлому, могут повлиять на бросок, существующий еще пока только в будущем. Возможность выпадения шестерки кажется точно такой же, как и в любом случае – то есть зависящей только от того, как именно будет брошена кость. И это представляется настолько очевидным, что всякое возражение обычно встречается насмешливой улыбкой, а отнюдь не выслушивается с почтительным вниманием. Суть скрытой тут ошибки – грубейшей ошибки – я не могу объяснить в пределах места, предоставленного мне здесь, а людям, искушенным в философии, никакого объяснения и не потребуется. Тут достаточно будет сказать, что она принадлежит к бесконечному ряду ошибок, которые возникают на пути Разума из-за его склонности искать истины в частностях».

И все же, чем отличаются последовательности, вызвавшие у нас сомнение, от других? В этих последовательностях распределение результатов подчиняется некоторой закономерности, которая позволяет описать эту последовательность, причем описание будет короче самой последовательности.

Последовательность:

11111111111111111111111111111111111111111111.

Описание:

44 единицы

Последовательность:

100100100100100100100100100100100100100100100.

Описание:

100, повторить 15 раз

Последовательность:

123456123456123456123456123456123456123456123456.

Описание:

Натуральные числа от 1 до 6, повторить 8 раз.

Анализируя подобные последовательности, известный математик Андрей Николаевич Колмогоров сформулировал понятие, которое впоследствии получило название колмогоровская сложность. Сложность последовательности – это минимальная длина программы, которая порождает данную последовательность. У последовательности из 44 единиц подряд колмогоровская сложность невелика, а вот у самой первой из приведенных нами последовательностей – напротив, сложность большая. Гораздо меньше места займет запись последовательности, чем описание алгоритма ее порождения.

В лекции Александр Шень сообщил малоизвестные подробности из истории понятия сложности. Независимо от Колмогорова примерно в то же время к формулировке такого понятия пришли еще два математика. Это Грегори Чайтин (Gregory Chaitin), который написал свою первую статью на эту тему, еще будучи школьником. И еще один американский математик Рэй Соломонофф (Ray Solomonoff).

Где понятие сложности может встретиться в жизни простого человека? При работе компьютера порой используют программы-архиваторы, которые сжимают размер файла, чтобы тот занимал меньше места на диске. Сжатие файлов основано, грубо говоря, на том, что программа находит закономерности в размещении кулей и единиц в его двоичной записи. Файл, колмогоровская сложность которого мала, сжимается хорошо, в несколько раз. Размер файла, колмогоровская сложность которого велика, при архивировании сильно не уменьшится. Фактически размер сжатого файла – это верхняя оценка его колмогоровской сложности (остается некоторый шанс, что закономерность есть, но программа-архиватор ее не нашла).

Приложениями колмогоровской сложности для классификаций занимается современный нидерландский математик Пол Витаньи (Paul Vitanyi). В одной из работ он сделал попытку построение классификации некоторого набора музыкальных произведений на основе сжатия midi-файлов с ними. При этом файлы х и у считались близкими, если сложность файла ху была меньше суммы сложностей  файлов х и у. В результате, как оказалось, близкими по этой классификации оказались музыкальные произведения, действительно принадлежащие одному автору.

Также Полу Витаньи принадлежать попытки классификаций по сжатиютекстов произведений русской литературы классиков и их переводов.

В других случаях им и его соавторами этот метод использовался для определения места вируса тяжелого острого респираторного синдрома (SARS) среди других вирусов по последовательности нуклеотидов в его РНК, классификации видов млекопитающих по ДНК, грибов по митохондриальным ДНК и даже построения классификации языков по текстам декларации прав человека, переведенным на эти языки. Подробнее об этом можно прочитать в работах The similarity metric (pdf) и Clustering by compression (pdf).

Накануне лекциидоктора физико-математических наук, главного научного сотрудника Института проблем передачи информации РАН, профессора отделения прикладной математики и информатики НИУ-ВШЭ Григория Кабатянского 13 марта 2014 года на «Полит.ру», мы поговорили с ним о его пути в науку, «Второй школе» и теории кодирования. Беседовала Наталия Демина.

• Интервью Е.Б. Дынкина с Г.А. Кабатянским (1999)

В аннотации к своей лекциивы назвали Клода Шеннона последним универсальным гением? Почему?

Можно быть гением в отдельной науке. Есть гении, которые выходят за рамки отдельно взятой науки. Андрей Николаевич Колмогоров был как раз таким гением, которому было тесно в математике. Так, механики поражаются придуманной им теории турбулентности.

Знаете, бывают открытия, про которые трудно решить а кто это первый придумал. С теорией информации все просто – ее придумал Шеннон, она появилась в его работе 1948 года как Афина из головы Зевса, в полном военном облачении. Но дело даже не в том, что Шеннон создал теорию информации, хотя это его безусловный вклад в науку XX века. Когда он создавал ее, то придумал такой ныне популярный метод, который в моей науке называется случайным кодированием.

Смысл в том, что ученые поняли, что многие объекты, которые легко взять и построить в традиционной, «бесконечной» математике, сложно построить в конечной математике. Построить сложно, но очень просто доказать, что такие хорошие объекты существуют. Предъявить их явно не получается, а вот доказать, что почти все хорошие – можно. У математиков родоначальником этого метода считается великий венгерский математик Пол Эрдеш. Но, на самом деле, Шеннон придумал и использовал этот метод еще до Эрдеша. И использовал в полном объеме. Понятно, что они друг про друга не знали, что каждый из них придумал этот метод независимо.

Гения отличают и другие черты. Гении – они же везунчики. Как-то раз Шеннон с семьей посещал какой-то национальный парк в США. И он оказался его миллионным посетителем. Местная газета вышла с заголовком, что в нашем национальном парке миллионный посетитель Клод Шеннон из Массачусетса с семьей. Газете это имя ничего не говорило, но через день уже все американские газеты запестрели заголовками, что изобретатель теории информации он оказался еще и миллионным посетителем национального парка.

Основатель теории информации Клод Шеннон (1916-2001)

Еще немного забавного о Шенноне. Некоторые математики и физики увлекаются жонглированием. Шеннон был очень хорошим жонглером. Ему в некий момент, учитывая такую страсть к цирку, подарили моноцикл. Как пишут очевидцы, он на него взгромоздился, и сразу поехал. А через какое-то время, буквально неделю или две, он уже ездил по коридорам Bell Labs, сидя на этом моноцикле и при этом жонглируя тремя шариками. Таким он был.

Моноцикл – это одно колесо?

Да, одно колесо, очень высокое.

То есть он был почти циркачом?

Да. Конечно, при этом, он был инженером. Инженером с большой буквы – это то, что совершенно потеряно. Если посмотреть русскую литературу конца XIX – начала XX века, то слово «инженер» звучало даже не гордо, а как бы сказать – весомо. Инженеров относили к высшим слоям общества. Это один из недостатков Советской системы – она породила миллионы никому не нужных инженеров в соревновании США и СССР, американцы это тоже подхватили. И там теперь тоже огромное количество инженеров. Вообще-то ясно, что когда вы чего-то произвели много, то оно обесценивается.

В аннотации к лекции я даже хотел написать, что Клод Шеннон – это Леонардо да Винчи XX-го века. Но оказалось, что это место уже занято Чижевским. Вот чем хорош Yandex или Google? Ты хочешь сказать какую-то «умность» и говоришь ее сначала поисковой системе, а она тебе помогает избежать ошибки.

Вы закончили «Вторую школу». А чем была «Вторая школа» для вас, что самое лучшее, что вы вынесли оттуда?

Я был обычным ребенком. Учился и вырос в Марьиной роще. И мой приход во «Вторую школу» был вызван цепью случайностей. Я учился в восьмилетке, и когда я ее закончил, возник вопрос – где учиться дальше. Так как я был отличником, учителя сказали: «Недалеко есть школа им. Горького, пойди туда». Я пошел туда, прошел собеседование. И учитель математики сказал: «Мы тебя с удовольствием берем, но, может быть, тебе лучше пойти в какую-то школу получше, чем наша. Съезди-ка ты во “Вторую школу”».

А я в этом смысле был абсолютно серый, сейчас я уже не знаю почему, меня брали, возили на районные, городские олимпиады РОНО, и я считал, что олимпиадная жизнь на этом и заканчивается. Оказалось, что есть совсем другие олимпиады. Точно так же до этого я ничего не знал про «Вторую школу». Меня туда приняли. Я до сих пор рассматриваю это как одно из моих самых больших достижений, что Евгений Борисович Дынкинотобрал последних трех человек из ста, и я был одним из этих трех.

А почему только трех?

Это был последний набор. Сначала он набирал тех, кого уже знал по кружкам, по успехам на олимпиадах. После первой четверти я был близок к тому, чтобы меня выгнали, потому что я ничего не знал из того, что знали ребята, которые ходили в кружки при МГУ. Но постепенно втянулся. Это был интересный период в жизни, была проблема челленджа, вызова, что очень важно для мужчины.

В каком году вы закончили школу?

В 1966 году. Наверное, нескромно так говорить, но мне кажется, наш год был лучшим выпуском «Второй школы». И даже не потому, что мы все время побеждали на олимпиадах.

Правда, когда мы собираемся, то удивляемся конечному результату. Конечно, есть пара человек, которые думают, что из них получились большие математики. А я считаю, что по тем возможностям, которые у многих из нас были, по крайней мере, в математике, никто из нас по-настоящему не реализовался. Почему – не знаю. Это можно было бы спрашивать у более умных людей, у того же Евгения Борисовича Дынкина. Я думаю, что одна из причин состояла в том, а мы учились в 1964-66 годах, что в тот момент общество ломалось. Мы тогда не понимали этого. Такие изменения в обществе осознаешь только потом.

Как-то раз, на уроке истории я спросил нашего учителя истории, настоящего профессионала своего дела: «Как же так, только что Никите Сергеевичу Хрущеву вручили очередную звезду Героя Социалистического труда, а прошло два месяца, и его сняли, и оказалось, что он – плохой руководитель и даже создал культ своей личности. Не мог же человек за два месяца столько всего плохого наделать».

Наш учитель был кандидатом наук, преподавал в МГУ, а потом его за диссидентские высказывания естественно выгнали. И сейчас даже не важно, что он ответил. Думаю, что в то время сама постановка такого вопроса в другой школе была невозможна. А у нас в школе витал дух свободы и разнообразия. Однако к концу жизни ты понимаешь, что если ты хочешь в чем-то добиться успехов, то жизнь должна быть втиснута в довольно узкие рамки. Поэтому мы все, вкусив этой свободы и разнообразия, были к такому «стеснению» в той или иной степени не готовы.

Вам удалось поступить в вузы, были ли проблемы с поступлением?

Нет, никаких проблем ни у кого не было. Большая часть поступила на мехмат МГУ, кто-то на Физтех. Из нас получились хорошие математики, физики, химики и даже психологи.

Какие-то имена назовете, с кем вы учились вместе?

Боюсь, что кого-то забуду, и они будут обижаться. Важно то, что у меня от школьных времен остались друзья. В том числе, два самых близких друга. Это Саша Шапиро, он с 1990г. в Атланте, в прошлом году получил премию им. Хачияна, и Слава - теперь Шломо Вебер, известный экономист, живущий в Далласе, а теперь он часто в Москве – руководит мегагрантом.

Возвращаясь к предыдущей теме… Мне кажется, что я знаю еще одну из причин, почему никто из нашего выпуска не получил Филдсовской медали. Когда Дынкин учил нас математике, он учил нас очень красивой математике. Такой, вы знаете, легкой и изящной. А потом оказалось, что в математике много повседневного труда и, как потом оказывается, часто бессмысленного. Озарения бывают, но редко. Так устроена жизнь, это не только в математике, это везде.

То есть математика – это шахта, а не пространство свободно парящих интеллектуалов?

Нет, я не думаю что математика – это шахта. Была известная история со Стахановым, когда из него стали делать стахановца, он стал добывать только уголь, а всю работу по крепежу шахты, по доставке угля стали делать другие люди, естественно выработка у него тут же и выросла. В математике все-таки так нельзя, можно окружить себя помощниками, но если вы посмотрите, то до сих пор в математике самые лучшие статьи – это плоды одного, двух, трех авторов. Математика – это по-прежнему, индивидуальный труд.

Кроме того, когда ты говоришь с математиками другого уровня, ты понимаешь, что они думают иначе, даже не лучше чем ты, а просто иначе. У Ролана Львовича Добрушина было такое замечательное высказывание, которое показывало, что выдающиеся математики могут временами быть хорошими психологами. Он как-то сказал, по некому такому случаю, как объяснение, которое люди не сразу поняли: «Здесь нет ничего удивительного, потому что мужчина любит собирать грибы, а женщина – ягоды».

Смысл этой фразы, на самом деле, довольно простой. Когда вы собираете ягоды, вам достаточно прийти на полянку, и всё дальше зависит от вас, а сбор грибов – это риск, это во многом вопрос удачи. В математике тоже можно собирать ягоды, и тогда вам надо придти пораньше, встать и кропотливо всё это делать. А можно и ягоды собирать как грибы - есть люди, которым не сидится, они бегут на одну полянку, потом на следующую, а потом они набредают на поляну, где много ягод и они крупные…  

Какое необычное деление!

Но оно не научное. Научное деление состоит в том, что по-настоящему хороших математиков можно разделить на тех, кто решал задачи и тех, кто создавал теории.

А вы к какому бы типу себя отнесли?

Я честно скажу, что я и не там и не там, я так высоко не летаю.

Почему вы занялись теорией кодирования? Почему выбрали именно эту область математики?

В этом сыграла роль еще одна случайность. Я учился в университете. Сначала у своего школьного учителя, у Евгения Борисовича Дынкина, но недолго, я честно ему сказал, что теорию вероятностей я не люблю. Почему не люблю – не знаю, сейчас я стал ее лучше понимать, но любви не появилось. Я пошел к Эрнсту Борисовичу Винбергу, другому замечательному математику, и стал заниматься группами Ли (потом мне это однажды пригодилось).

Знаете, порой жизнь нас к чему-то подводит, а мы говорим: «Нет, это нам не нужно». Когда я поступил в МГУ, то мне почему-то очень хотелось научиться хорошо плавать. И так как просто плавать я умел то , естественно, хотелось научиться плавать кролем. И первое, что я сделал, это записался в бассейн. И мы занимались как раз вместе с Сашей Шапиро. С нами плавал человек, по нашим понятиям немолодой, ему было лет 30-35, и когда он узнал, что мы с мехмата, то предложил рассказать об интересных задачах в теории кодирования. А мы ему в мягкой форме ответили, что давайте дружить, давайте плавать на соседних дорожках, но нас интересует математика, а не какие-то там коды.

Когда я оканчивал университет, то не очень понимал, что хочу делать. Однако чистой математикой мне заниматься уже не хотелось. С аспирантурой было сложно. Комитет ВЛКСМ меня не любил, за что не знаю, у меня было четыре выговора. Узнав о последних трех, я сразу к ним прибежал и быстро их вывел на чистую воду. За пару лет до этого у меня украли портфель, и не просто портфель, а «дипломат» – они тогда только появились. У меня был такой алюминиевый дипломат, я им очень гордился, пока не оставил его перед входом в библиотеку, а когда вышел через 15 минут, то его там уже не было.

С дипломатом исчезли студенческий билет, зачетная книжка и комсомольский билет. Оказалось, что за всё это мне объявили три выговора за утерю важных документов (за каждый – по выговору). Я комсомольцам объяснил и доказал, что это была не утеря, а кража – у меня была справка из отделения милиции о краже. И эти три выговора с меня сняли. Порой думаю, что если бы я сейчас был молодым человеком, то пошел бы в юристы (смеется).

А один выговор у меня остался, я до сих пор им горжусь. Мне его дали за то, что на первом курсе я не посетил ни одну лекцию по истории КПСС.

Как же вы экзамен сдавали?

О, я – болтун, спокойно все пересказал.

Когда выяснилось, что три выговора – это «недоразумение», было уже поздно. Партком меня в аспирантуру не допустил. Еще была некая возможность остаться в хорошей аспирантуре, так называемой целевой. Этого мне хотелось больше всего, но она в тот год не дала место, а идти в заочную аспирантуру я уже не хотел.

Тогда мне надо было задуматься о распределении. На меня положил глаз, зачем не знаю – Комитет. Я в него не хотел, и до сих пор не хочу. Один умный человек мне сказал, что есть только один способ избежать комитета – пойти в «почтовый ящик», и даже посоветовал в какой «почтовый ящик» пойти.

На распределении комиссия решила пойти навстречу комитету и послать меня туда. Но тут встал представитель « почтового ящика» и сказал, что по закону, когда обе заявки плановые, из учреждения одного профиля, то выбор остается за студентом. Можно назвать это гримасой советского времени, но упоминания о законе было достаточно. Меня спросили, куда я хочу и я, конечно, сказал, что хочу в «свой» «почтовый ящик». Я не мог сказать, что в «ящик» я вообще-то не очень хочу. Кстати, в этом «ящике» я проработал почти двадцать лет и никогда не жалел, что попал туда (можете считать, что это «стокгольмский синдром»).

Я вышел на работу, это был хороший и большой «почтовый ящик», каких много было в советское время. Там было много выпускников мехмата МГУ. Со мной сначала поговорил один возможный работодатель, оказалось, что ему нужны были люди, которые дружат с теорией вероятности, а я сам говорил, что с ней не дружу. Затем пришел другой человек и сказал: «Как хорошо, что ты с кафедры алгебры, вот тебе как раз книжка, нам это очень интересно» и вручил мне книжку «Алгебраическая теория кодирования» Э. Берлекэмпа. Когда я ее открыл и прочитал введение, то подумал, что за полгода решу все задачки из нее. Но вот прошло 40 лет, решил далеко не все, а только понял, как мало я умею решать.

Оказалось, что человек, с которым я плавал, говорил мне ровно про ту же самую область исследований. Потом я стал искать людей, которые этим занимаются, ходил на семинар в МГУ к Владимиру Иосифовичу Левенштейну и понемножку научился.

Как называется ваша область исследований?

До Шеннона слово «коды» использовалось как теория шифрования, то есть тайнопись. Что-то закодировали, то есть превратили некое осмысленное высказывание в совершенную абракадабру. Не важно, чем был исходный объект для шифрования, важно было трансформировать его так, чтобы исходных следов было не найти. Этим занимается криптография.

Тот смысл, который придал слову «коды» сам Шеннон, заключался в способе передачи информации по каналам связи так, чтобы даже при условии, что там будут возникать ошибки, мы могли восстановить информацию. Нельзя сказать, что до Шеннона этого никто не делал, но по существу никто не понимал, что это такое. То есть люди понимали, что хорошо было бы сделать так, но как это сделать не понимали.

Поэтому есть две разные науки. Очень разные. По той математике, которую они используют и по тем задачам, которые они решают. Это шифрование или более точно криптография. И коды, исправляющие ошибки. То, чем занимаюсь я, – это коды, исправляющие ошибки. То, что придумал Шеннон, и частью чего являются коды, исправляющие ошибки – это теория информации. Это часть кибернетики, хотя это слово практически умерло.

«Кибернетика» – слово, возникшее не на пустом месте (от др.-греч. κυβερνητική – «искусство управления»). На волне первых успехов люди действительно верили, что они смогут придумать искусственный разум, который будет лучше, чем человеческий. Кстати, Шеннон сконструировал мышь для поиска выхода из лабиринта и одну из первых современных машин для игры в шахматы , так что может по праву считаться одним из основателей искусственного интеллекта. Да, в начале кибернетики самой большой целью была машина, которая бы обыгрывала человека в шахматы.

Гарри Каспаров был компьютером побежден.

И сейчас компьютеры делают много вещей в миллиарды раз лучше, чем человек. Они лучше считают и обрабатывают массивы данных. Но до сих пор человек во многих вещах лучше компьютера. Когда компьютер начнет опережать человека во всем, я не знаю, ясно, что я этого не увижу, и уже хорошо.

Но ученым и инженерам долго не удавалось добиться успеха в распознавании образов, в области, которая поначалу казалась более простой вещью, чем победа над человеком в шахматах. Опять же можно поговорить о том, какова роль денег в ускорении научного прогресса. Вот не было реальных успехов, а потом наступило 11 сентября 2001 годаи в эту область исследований пошли огромные вливания денег. И то, что еще 10 лет назад раньше не умели делать с помощью больших компьютеров, сегодня делают почти все современные цифровые аппараты – находят человеческие лица на фотографиях.

И если посмотреть на то, что произошло в теории распознавания образов, то никаких теоретических всплесков в этом распознавании лица не произошло, все идеи которые используются сейчас, уже были известны в 90-х. Но тогда почему на Западе произошел прорыв в области, в которой мы тоже могли бы добиться многого, но не добились?

Дело в том, что там различные научно-исследовательские коллективы людей бросились на эту задачу, и началась гонка, в ходе которой каждая команда постоянно чуть-чуть улучшала достижения другой. Советская-российская наука живет немножко в прошлом и по мостику, соединяющему науку с реальной жизнью, почти никто не ходит. По-видимому, дело в нашем менталитете, мы к такой «крохоборной» работе плохо приспособлены. К прорывным технологиям, наверное, да (космос, атом), а вот такой интенсивной работе, миллиметр за миллиметром, наверное, нет.

Что за последние два года вызвало ваш читательских интерес: какие научно-популярные книги или nonfiction?

Научными публикациями я постоянно интересуюсь, а вот прочитать большую книгу не по своей теме, я, наверное, уже не смогу. Помню, как я стоял в книжном магазине в Лондоне, и смотрел на толстую и, по-видимому, хорошую книгу по физике. Меня порой тяготит, что я совсем не знаю физики, как это часто бывает с математиками. Полистал, написана хорошо, но я понял, что покупать ее не буду. Я думаю, что я не один такой, есть какие-то вещи, которые ты откладываешь на потом, предполагая, что когда уже сам не сможешь что-то делать, тогда каким-то делом и займешься.

Я все мечтаю выучить японский язык на старости лет.

Да, например что-то такое. Это у вас хорошая мечта, я выучил только английский, и это мой предел. Что касается художественной литературы, то меня современные произведения не интересуют. Я, наверное, живу в вакууме, но думаю, что я не один. Читать то, что я читал молодым, то, что можно назвать классической литературой, Толстого и Апдайка, по второму разу не хочется.

Я очень люблю Толстого, могу заново прочитать его небольшие рассказы, но меня совсем не тянет к новому прочтению «Войны и мира». Я этого не хочу, разве только если в тюрьму посадят. Современных же авторов я читаю очень редко. Мне не хочется их обижать. Многие из них очень хорошо пишут, и пишут по-разному. Но за всем этим нет ощущения естественности. Когда читаешь Толстого, то нет ощущения, что он написал свой роман для того, чтобы его книжку купили. Я уверен, что и Пушкин, который был не прочь заработать денег на книгоиздании, когда только начинал писать стихи, все-таки забывал о том, что он пишет для того, чтобы потом получить деньги. А сейчас, кажется, идет такая погоня за читателем. Хорошо это или плохо, я не знаю.

Ваша работа связана с исправлением ошибок в сфере телекоммуникаций?

Да, это телекоммуникация и хранение информации. Когда я рассказываю о своей области исследования школьникам, то говорю им о фокусе, которым сейчас, наверное, никого не удивишь. Когда брали первые диски для записи, проводили по ним ножичком царапину, закладывали обратно в проигрыватель, то человек не слышал никакой разницы. Это чистой воды коды и кодирование информации.

Всегда приятно, когда оказывается, что ты вложил усилия в какую-то теоретическую область, а она вдруг сразу заиграла, а в вышеприведенном примере в прямом смысле заиграла. Потому что чаще всего математика существует ради самой себя. Очень часто – это просто борьба принципов, я сделаю еще лучше, уже неважно зачем, просто я должен этот результат улучшить.

Оказалось, что коды, исправляющие ошибки, полезны в каких-то других областях, например, в чистой математике. Моя лучшая математическая работа заключалась в том, что мы с В.И.Левенштейном развили и применили методы, придуманные в теории кодирования, к очень старой математической задаче об упаковке шаров в n-мерном пространстве.

Мне вообще не нравится деление на чистую и прикладную математику. Есть математика, которая уже нашла приложение и есть такая, у которой это еще впереди. Так не бывает, что дорога идет только в одну сторону. Не стоит думать, что только высокая математика приходит и удовлетворяет нужды прикладной. Обратное движение (из прикладной математики в чистую) тоже есть.

Спасибо за интервью!

13 марта в рамках проекта «Публичные лекции «Полит.ру» выступил Григорий Анатольевич Кабатянский  – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, профессор отделения прикладной математики и информатики НИУ-ВШЭ. Тема его лекции: «Коды – от Клода Шеннона до наших дней». 

 

Григорий Кабатянский. Фото: Наташа Четверикова

Одним из фундаментальных достижений американского математика и инженера Клода Шеннона (Claude Elwood Shannon; 1916-2001) стало создание теории информации. В помощь слушателям лекции мы сообщим элементарные сведения об этой дисциплине.

Реплика собеседника, бумажное или электронное письмо, красный сигнал светофора, звонок в дверь – всё это передача информации. Любой случай такой передачи можно описать при помощи общей схемы. В ней присутствуют отправитель (источник) информации, получатель (адресат) и канал связи. Канал связи может вносить в передаваемое сообщение случайные помехи, затрудняя прочтение этого сообщения адресатом. Такими помехами могут быть, например, шумы при телефонном разговоре или же морская вода, размывшая буквы в письме капитана Гранта.

Количество переданной или полученной информации можно измерить. В старину объем бумажной переписки можно было измерять в количестве страниц, телеграф приучил людей считать слова и знаки, и, в конце концов, люди пришли к определению минимальной единицы информации. Это бит (от английского binary digit«двоичная цифра»), он равен одному символу в двоичной системе (0 или 1). Термин «бит» предложил Шеннон в статье «Математическая теория связи».

Информацию можно определить и как степень уменьшения неопределенности. Адресат получает информацию, какое из возможных событий произошло. Если число этих возможных событий равно двум, то информацию о произошедшем событии можно передать одним битом. Например, из двух возможных результатов бросания монетки обозначить орел единицей, а решку – нулем.

Что происходит если этих возможных событий больше двух? Сколько битов понадобится для передачи информации? Предположим, нам надо угадать число от 1 до 16, задавая собеседнику вопросы, на которые он будет отвечать «да» или «нет», при этом стараясь, чтобы количество этих вопросов было минимальным. Мы будем разделять множество возможных вариантов на равные части. «Это число от 1 до 8?» – «Нет» – «Это число от 9 до 12?» – «Да» – «Это число от 9 до 10?» – «Нет» – «Это 11?» – «Да». Нам понадобилось четыре вопроса, то есть четыре байта информации, чтобы узнать число. При этом изначально у нас имелось 16 равновероятных событий, то есть наше количество информации равняется log₂16=4. В целом информация о том, какое из N событий произошло, записывается log₂N битами, в случае если N не является степенью двух, то нужен log₂N+1 бит (рассмотрите пример с угадыванием числа от 1 до 17).

А что, если вероятности возможных событий не равны? Предположим, существует пруд, в котором живут рыбы четырех видов. Каждый день рыбак идет к пруду и вылавливает одну рыбу. Больше всего в пруду карасей, вероятность того, что на удочку попадется карась, составляет 1/2. На втором месте окуни, вероятность добычи окуня равна 1/4. Вероятности поимки ерша и пескаря равны 1/8. Мы задаем рыбаку вопросы, на которые отвечает «да» или «нет». Наша цель – узнать, кого поймал сегодня рыбак. В этом случае выгоднее не пытаться каждым вопросом делить множество вариантов пополам (например, «Название рыбы начинается на гласную?»), а спрашивать сразу: «Это карась?». С вероятностью 1/2 мы накроем цель первым же вопросом. Правда, если сегодня попался ерш, нам придется задать целых три вопроса. Казалось бы, этот метод хуже. Но если мы будем играть в эту игру с рыбаком на протяжении 200 дней, то в 100 случаях нам будет достаточно одного вопроса, в 50 случаях – двух и в 50 – трех. Используя первый метод, мы каждый раз будем тратить по два вопроса, а если мы учтем вероятности, то в среднем мы затратим по (100×1 + 50×2 + 50×3)/200 = 1,75 вопроса. Экономия налицо!

Пример с рыбами демонстрирует важное понятие теории информации – энтропию. Энтропия определяется формулой:

Н(С) = p₁ log₂p₁+p₂ log₂p₂+…+p_n log₂p_n, где p – это вероятности событий.

Так как вероятности отдельных событий меньше единицы, их логарифмы всегда отрицательны и энтропия тоже отрицательна. Среднее количество информации, необходимое для сообщения об одном из этих событий, определяется как I(С)= –Н(С). В нашем случае с рыбами:

I(С)= –(1/2 log₂1/2+1/4 log₂1/4+1/8 log₂1/8+1/8 log₂1/8) = 1/2 + 1/2 + 3/8 + 3/8 = 1,75

Среди теорем теории информации, сформулированных и доказанных Клодом Шенноном есть и такая: при кодировании, допускающем однозначное декодирование, средняя длина сообщений не меньше энтропии источника.

Информация передается по каналу связи: при помощи звуковых волн в воздухе, электрическими сигналами по проводам или еще как-то. В идеальном случае информация из источника доставляется адресату без искажений (т.н. «канал без шума»), однако это далеко не всегда так. В теории информации разработаны особые алгоритмы снижения числа ошибок при передаче, их обнаружения и устранения. Наиболее простым способом обнаружения ошибок служит контроль четности. Предположим, нам надо передать двоичное сообщение:

100101011111.

Разобьем его на группы по три символа:

100 101 011 111.

Если в группе число единиц четно, добавим в нее четвертым символом ноль, а если нечетно, добавим единицу:

1001 1010 0110 1111.

Добавленные нами символы позволяют контролировать ошибки. Если при передаче в каждой группе из четырех знаков число единиц четно, то всё нормально. Если же возникла ошибка (а ошибка – это замена нуля на единицу или единицы на ноль), то число единиц в данной группе станет нечетным. Следует помнить, что этот способ не будет работать, когда в группе из четырех символов одновременно произойдут две ошибки.

Коды способны даже помочь нам исправить ошибку, возникшую при передаче информации по каналу связи. Предположим, нам надо передать четыре бита информации 1011. Добавляем к ним еще три проверочных бита. Делаем это так, чтобы четными были три суммы: первого, второго, третьего и пятого битов; первого, второго, четвертого и шестого битов, первого, третьего, четвертого и седьмого битов. В нашем случае проверочные биты должны быть 001. Адресат, получив сообщение, должен посчитать эти три суммы. Если они четные, ошибок не произошло. Если одна нечетная, то ошибка случилось при передаче проверочного символа. Если две из них нечетные, то ошибка в том символе, который входит в обе суммы. Если все три контрольные суммы нечетные, то ошибка в первом символе (он входит в каждую из сумм).

Конечно, в реальных системах передачи информации могут использоваться куда более сложные алгоритмы выявления ошибок, чем тот, что здесь описан.

Теоремы Шеннона о передаче информации по каналу с шумами утверждают, что для такого канала всегда можно найти систему кодирования, при которой сообщения будут переданы со сколь угодно большой степенью верности, если только производительность источника не превышает пропускной способности канала. Иными словами, информацию можно передавать со сколь угодно малой вероятностью ошибки и с любой скоростью, если она меньше некоторой критической для данного канала величины.

В среду, 19 марта 2014 года, состоится лекция известного физика-теоретика, членкора РАН Александра Белавина. Свое выступлениеон посвятит теме «Платоновы тела, модель Кеплера и теория относительности Эйнштейна». Лекция проводится при поддержке Фонда «Династия». 

В качестве эпиграфа к лекции Александр Абрамович взял фразу Альберта Эйнштейна «Физика стремится найти объединение всех ее областей на теоретической основе, образованной минимальным числом понятий и фундаментальных соотношений, из которых можно вывести все.... Глубокое убеждение в достижимости этой цели является главным источником страстной преданности, которая воодушевляет исследователя». 

«Я …собираюсь рассказать о теории относительности Эйнштейна (для пешеходов) как примере замечательной структуры, которая реализована в устройстве природы. В физике – в той же современной квантовой теории поля и теории струн – также идет поиск некоей простой конструкции, лежащей в основе Мироздания», – отметил Александр Белавин в интервью «Полит.ру». 

«Супернадежда людей, которые занимаются поиском фундаментальной теории, состоит в том, что такая конструкция существует», – подчеркнул он. Белавин с 1976 года работает в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау. Кроме того, он является ведущим научным сотрудником Лаборатории квантовой физики и информации ИППИ РАН, профессором Независимого московского университета. 

Его исследования связаны с теорией квантового поля, интегральной теорией поля и теорией струн. Он – лауреат премии им. Померанчука 2007 года и Lars Onsager Prize 2011 года – ежегодной премии Американского физического общества в статистической физике. Начало лекциив 19-00. Она состоится в кафе «ЗаВтра» (Москва, ул. Сретенка, 26/1, м. «Сухаревская»). Вход бесплатный. Телефон для справок: +7 495 787-1162.

Российский математик, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института РАН Анатолий Вершик  в марте 2014 года опубликовал в своем Фейсбукеписьмо украинским коллегам. 

• См. такжеего выступление на Конгрессеинтеллигенции против войны, 19 марта 2014 года

Письмо украинским соседям

Меня тронуло коллективное театрализованное обращение в интернете киевских актеров к актерам России. Ответа из России я не видел. Но меня отвратило письмо, так называемых, российских писателей, и не меньше – письмо нескольких сибирских академиков – оба с нижайшими заверениями в верности и поддержке власти в ее позиции по Крыму. 

После этого мне захотелось написать письмо о поддержке моим коллегам украинским математикам, живущим в Украине или в других странах. Меня связывают с украинскими учеными длительные контакты, мы много работали и работаем вместе. То же могут сказать многочисленные коллеги-математики и представители десятков других специальностей. Профессиональные контакты гораздо глубже и важнее политических. 

Что касается меня лично, то мои родители родились и жили в Украине до переезда в Ленинград. А многие мои родственники, жившие там, были убиты во время войны. 

Сейчас нас, живущих в этих двух странах, связывают другие важные вещи. Главная из них та, что происходящее сейчас в вашей стране, как я уверен, окажет исключительное влияние на то, что произойдет со временем в России. 

А именно, сейчас, несмотря на все трудности, растерянность, неустройство в Украине постепенно будет формироваться, как я думаю, настоящее гражданское общество, которого до сих пор не удавалось создать ни там, ни здесь. 

Ваш народ решительно вышвырнул проворовавшуюся и несамостоятельную власть, без всякой подсказки со стороны, и без разрешения «старшего брата». А нас пропагандисты из российских массмедиа пытаются уверить, что это все козни Запада, – точь в точь, как в андроповские времена нас уверяли, что диссиденты и А.Сахаров – это западные наймиты. Можно назвать происшедшее революцией, а точнее, будет сказать, что это просто спонтанное проявление своего отрицательного отношения к происходящему. 

Другое дело, что будущее страны разные люди видят по-разному, но это естественно, и относиться к этому следует спокойно, поскольку есть множество различных политических партий и мнений (а сколько их в России?). Хочется думать, что мы наблюдаем начало создания настоящего гражданского общества в Вашей стране.

Но это не может не вызвать злобы тех, кто препятствует созданию настоящей демократии, препятствует самой возможности сменяемости власти. Тех, кто хочет законсервировать, созданную за последние годы карикатурную бутафорию демократических институтов и партий в нашей стране; наконец, тех, кто видит в настоящем диалоге с вменяемой частью общества, в частности с учеными, прямую угрозу себе. 

Лживые попытки сослаться на то, что власть на Украине рухнула, или попала в руки фашистов, нужны лишь для того, чтобы пример не был заразителен. Только потому и возникла вдруг придуманная авантюра с Крымом. С одной стороны, это попытка оживить уже затухающую, но еще живущую в народе тоску по Крыму, а с другой, и это главное, как можно больней ударить «отколовшегося» соседу. Соображения о безумной плате в будущем за интервенционисткую акцию, видимо, отметаются с самого начала. Забыты все уроки нашей же истории.

Как относиться к словам президента великой страны (см. прямую трансляцию) о том, что он хотел бы посмотреть на того, кто откроет огонь по женщинам и детям, которые пойдут впереди российских войск?! Но ведь опыт последних лет действительно говорит нам о мстительности власти, подчас соединяющей в своих действиях лживость и цинизм. 

Ироническая усмешка судьбы, что все это пришло так быстро – всего за последние 15 лет --- после наших надежд начала 90-х, на то, что «жизнь качнется вправо, качнувшись влево». И вот опять нас постепенно накрыла волна совковой пошлости, от которой не продохнуть. 

«Крым» – лучшая тому иллюстрация. Не «быдло», на которое ссылаются интеллектуалы, заводит песню «одобрямсa», а гебешная образованщина, распространившаяся повсеместно, достаточно посмотреть Интернет. Сейчас настал момент, когда отброшены все приличия. Прямая ложь, составлявшая суть советской пропаганды, громко звучит в официальных речах («войска в Крым не введены»!).

И неужели мы должны верить политическим фокусникам, утверждающим, что сотни тысяч украинцев на всех майданах на протяжении последних месяцев устроили фашистский переворот? Да нет, они просто прогнали тех, потерял доверие народа, как, кстати, не очень одобрил и оппозиционных политиков. И, видимо, стерпеть такое вольнодумство и такие действия российским «коллегам» стало не по силам.

Скорее, наоборот, обстановка в России напоминает пропагандистскую трескотню конца 30-х гг., как в немецкую, так и советскую. Те, кто постарше, узнают приемы и фокусы советской послевоенной пропаганды в газетах, на телевидении в заявлениях органов власти. Громко кричат циничные или недалекие агитаторы и провокаторы, забывшие или незнающие, каким позором покрыли себя те, кто публично в речах и письмах одобрял в сталинские времена и позже подлые деяния той власти. 

Опьянение и восторг толпы от «присоединения Крыма» такими методами – позорны. Защищать русское население надо в России, а не в Крыму, и не от неведомых фашистов, а от избранной ими же власти. Власти, устраивающей «болотные дела», принимающие немыслимые думские законы, дающей единогласное разрешение на нарушение международных соглашений и пр. и пр. 

Эти деятели называют предателями тех, кто смеет возражать против происходящей аннексии. Но ведь клеймо «предателя» – переходящее, (как когда-то было переходящее Красное знамя в соцсоревновании). И очень скоро те же обыватели будут справедливо называть предателями, тех, кто называет сейчас предателями несогласных, тех. кто затеял к столетней годовщине первой мировой войны попытку ее повторить, и своими действиями нанести непоправимый урон нашей стране.

А своим друзьям и коллегам в Украине я желаю самостоятельно и спокойно разобраться в своих проблемах и идти к устройству настоящего демократического общества в своей стране; к правопорядку, который так или иначе есть во всех европейских странах, и которому, хотим мы этого или нет, – нет альтернативы, если хотеть остаться в цивилизованном мире. Кажется, Украина сделала свой выбор. Россия еще не совсем. 

В это трудное для вас время, время создания новой страны вас поддерживают, во всяком случае некоторые из российских коллег.

А.М. Вершик,
Математик. Ст. Петербург.
Март 2014.

Известный физик-теоретик, членкор РАН Александр Белавин в среду, 19 марта, в рамках публичных лекций «Полит.ру» выступил на тему «Платоновы тела, модель Кеплера и теория относительности Эйнштейна». Лекция проводилась в кафе «ЗаВтра» при поддержке Фонда «Династия».

Полную запись выступления можно прослушать тут.

«Я …собираюсь рассказать о теории относительности Эйнштейна (для пешеходов) как примере замечательной структуры, которая реализована в устройстве природы. В физике – в той же современной квантовой теории поля и теории струн – также идет поиск некоей простой конструкции, лежащей в основе Мироздания», – отметил Александр Белавин в интервью «Полит.ру». 

Александр Белавин — лауреат премии им. Померанчука 2007 года и Lars Onsager Prize 2011 года – ежегодной премии Американского физического общества в статистической физике. Он занимается теорией квантового поля, интегральной теорией поля и теорией струн.

Известный российский математик, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института РАН Анатолий Вершикпризвал участников Конгресса интеллигенции «Против войны, против самоизоляции России, против реставрации тоталитаризма» к поддержанию горизонтальных связей с коллегами с Украины. Этот форум, собравший несколько сотен деятелей культуры, науки и образования прошел в Библиотеке иностранной литературы 19 марта 2014 года. 

«Я недавно написал в Фейсбуке письмо украинским соседям, обращенное к украинским математикам. Там было довольно жестко сказано о том, что произошло… Я был удивлен насколько быстро и в каком объеме мое письмо разошлось по Украине. Я хочу сказать, что все мы имеем какую-то профессию: мы – актеры, врачи, ученые… Надо поддерживать горизонтальные связи с Украиной. Возможно, надо даже ехать туда и показать, что здесь есть интеллигенция, которая не согласна на деле с тем, что происходит наверху», – сказал Анатолий Моисеевич в своем выступлении. 

Видеозапись выступления А.М. Вершика, 19 марта 2014 года

Анатолий Вершик, в 1979-1982 годах участвовавший в подготовке самоиздатовского журнала «Сумма», также напомнил о традициях диссидентского движения в СССР. «Оно было очень важным моментом в том, что затем произошло в России в конце 1980-х – начале 1990-х годов. И это будет происходить опять. К сожалению, у нас нет Сахарова, и это наша беда. Но надо помнить, что Сахаров образца 1968 года совсем не то, что Сахаров образца 1988 года. Сахаровы тоже растут, и я очень надеюсь, что новый Сахаров тоже вырастет. Увы, наша Академия наук, которая находится в незавидном положении, и может быть правильно, не дала нового Сахарова, и это печально. И вообще отсутствие именитых людей в сфере протеста очень мешает делу». 

«Оппонентам надо помнить, что всё это было, и как они дрожали в 1991 году, все – и ГБ, и другие, и доносчики – они очень боялись. Как они так быстро забыли, что холуйство запоминается, и мы должны им об этом напоминать», – сказал Анатолий Вершик в заключение своего короткого выступления на Конгрессе интеллигенции против войны.

19 марта в рамках проекта «Публичные лекции Полит.ру» состоялась лекция Александра Абрамовича Белавина  –  физика-теоретика, члена-корреспондента РАН, доктора физико-математических наук, главного научного сотрудника Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау, ведущего научного сотрудника Лаборатории квантовой физики и информации ИППИ РАН, профессора Независимого московского университета. Тема лекции: «Платоновы тела, модель Кеплера и теория относительности Эйнштейна».

Первая часть лекции Александра Белавина была посвящена правильным многогранникам и основанной на них модели Солнечной системы, которую построил Иоганн Кеплер (1571—1630) в труде Mysterium Cosmographicum («Тайна мира», 1595). Во второй части лекции речь шла об основах специальной теории относительности Альберта Эйнштейна. В этом кратком обзоре мы успеем рассказать лишь о первой части лекции.

Напомним, что правильными многогранниками называются те многогранники, которые обладают тремя свойствами. Они должны быть выпуклыми, то есть такой многогранник должен быть весь расположен по одну сторону от плоскости любой из его граней. Второе условие – грани должны быть правильными многоугольниками. И третье – в каждой вершине многогранника должно сходиться одинаковое число ребер.

Известно всего пять правильных многогранников. Четыре грани у тетраэдра. Его гранями являются треугольники, а вершин у него четыре. Шесть граней имеет гексаэдр, или куб. Его грани – это квадраты, вершин – восемь. Восемь треугольных граней и шесть вершин у октаэдра. 12 граней имеет додекаэдр, грани эти пятиугольные, вершин у него 20. И, наконец, у икосаэдра 20 треугольных граней и двенадцать вершин.

Для правильных многогранников, как и для любых выпуклых многогранников действует теорема Эйлера, согласно которой верно равенство:

В – Р + Г = 2,

где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней многогранника.

Чтобы доказать это, сначала рассмотрим случай с плоской фигурой. Докажем, что, если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то выполняется равенство:

В - Р + Г = 1.

где В – число вершин, Р – число сторон, Г – многоугольников.

Если мы в подобном образом разбитом многоугольнике проведем дополнительную диагональ, то число вершин (В) не изменится, числе сторон (Р) вырастет на единицу и число многоугольников (Г), на который разбит большой многоугольник, также увеличится на единицу. Их общее соотношение останется прежним:

В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.

Пользуясь этим, разобьем весь многоугольник на треугольники, а затем будет убирать их, следя, останется ли постоянным число В - Р + Г. Попробуйте нарисовать чертеж произвольного многоугольника, разбить его диагоналями на треугольники, и стирать внешние стороны, следя за общим количеством вершин, сторон и внутренних многоугольников. Действуя последовательно, вы, в конце концов, получите треугольник, то есть ситуацию, когда В=3, Р=3, а Г=1, то есть равенство В – Р + Г = 2 верно.

Доказав случай с плоским многоугольником, вернемся к многогранникам. Для них, напомню, должно выполняться равенство:

В - Р + Г = 2.

Представим, что наш выпуклый многогранник сделан из гибкого, тянущегося материала. Вырежем одну из его граней, а остальную поверхность растянем на плоскости. У нас получится своеобразная сетка – многоугольник, где столько же вершин, сколько у изначального многогранника, столько же ребер, а более мелких многоугольников, на которые он разбит на один меньше: Г' = Г – 1.

Мы уже знаем, что для полученной фигуры верно, что В - Р + Г ' = 1. (заметьте, мы специально использовали одни буквы и для плоской фигуры, и для многогранника, чтобы было наглядней). Если мы вспомним, что удалили одну из граней многогранника, то для него выполняется В - Р + Г = 2 (граней на одну больше, вот и сумма увеличилась на единицу). Это мы и стремились доказать.

Теорема Эйлера, о которой здесь шла речь, сыграла важную роль в развитии теории графов и топологии, а мы продолжим изучать пять правильных многогранников.

Почему же всё-таки их только пять? Попробуем разобраться. Возьмем некий правильный многогранник, гранями которого являются n-угольники, а в каждой вершине сходится m ребер. Числа n и m должны быть больше или равны трем: двуугольника не бывает. Учитывая теорему Эйлера, мы можем прийти к заключению, что для вершин, ребер и граней этого многоугольника должны выполняться соотношения:

nГ = 2P;

Г = 2Р/n;

mB = 2P;

(2Р/m) – Р +  Р/n=2, а следовательно Р = 2nm / (2m + 2n - nm).

Из этого равенства следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Теперь попробуем подставлять в неравенство (n – 2)(m – 2) < 4 возможные значения n и m и определять число вершин, ребер и граней правильного многогранника. При n = 3 и m = 3 получим Р = 6, В = 4, Г = 4, то есть тетраэдр. При n = 3 и m = 4 получим Р = 12, В = 8, Г = 6, то есть куб. При n = 3 и m = 5 получим Р = 30, В = 20, Г = 12, то есть додекаэдр. При n = 3 и m > 5 неравенство (n – 2)(m – 2) < 4 перестает выполняться.

Перейдем к случаям, когда n = 4. При n = 4 и m = 3 получим Р = 12, В = 6, Г = 8, то есть октаэдр. Если m > 3, а n = 4, построение правильного многогранника невозможно, так как не выполняется неравенство (n – 2)(m – 2) < 4.

Рассмотрим случаи, когда n = 5. При n = 5 и m = 3 получим Р = 30, В = 12, Г = 20, то есть икосаэдр. Другие многогранники с n = 5 построить невозможно. Также невозможны многогранники, где n > 5. Так мы получили все пять существующих правильных многогранников и установили, что других нет.

Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. В частности, доказать, что существуют только пять правильных многогранников первым смог Теэтет Афинский (около 417—369 год до н. э). Он же открыл икосаэдр и додекаэдр. Труды Теэтета до нас не дошли, но его достижения известны благодаря Евклиду.

Большое значение правильным многогранникам придавалось в картине мира, которую строил Платон (не случайно они стали известны под названием «Платоновы тела»). В платоновском диалоге «Тимей»предлагалось поставить каждому из первоначал в соответствие правильный многогранник. Куб соответствовал земле, октаэдр – воздуху, икосаэдр – воде, а тетраэдр – огню. Про додекаэдр же в «Тимее» говорилось: «В запасе оставалось еще пятое многогранное построение, его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Как же использовал правильные многогранники Кеплер? Как уже упоминалось, в 1595 году он закончил труд Mysterium Cosmographicum («Тайна мира»), ставший, кстати, первой публичной защитой гелиоцентрической системы Коперника. В ней он предложил устройство Солнечной системы из последовательно вложенных друг в друга правильных многогранников, каждый из которых заключен в сферу.

На сферах расположены круговые орбиты шести известных в то время планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна. В сферу Сатурна был вписан куб, в него – сфера Юпитера, в нее – тетраэдр, в него – сфера Марса, в нее – додекаэдр, в него – сфера Земли, в нее – икосаэдр, в него – сфера Венеры, в нее – октаэдр и, наконец, в него – сфера, круг на которой образует орбиту Меркурия. Кеплер предложил также формулу, связывающую размер сферы каждой планеты с ее орбитальным периодом. От внутренних планет к внешним период обращения планет возрастал пропорционально удвоенной разницы радиусов сфер. Позднее Кеплер отказался от этой формулы из-за ее неточности.

Кеплер связывал эту систему с познанием божественного устройства мира, сопоставляя Солнце с Богом-Отцом, сферу звезд – с Сыном, а внутреннее пространство – со Святым Духом. В первом варианте «Тайны мира» была глава, содержащая библейские цитаты, которые, как представлялось Кеплеру, подтверждают идею гелиоцентризма. Правда, Тюингенский университет согласился публиковать труд Кеплера только при условии, что он уберет толкования Библии из своей книги.

Хотя от идеи круговых орбит Кеплер в дальнейшем отказался, «Тайна мира» была важным шагом в развитии гелиоцентризма, так как Коперник еще использовал для описания орбит птолемеевские понятия эпициклаи экванта. Кеплер уже в первом своем трактате отказался от многих из них. Постепенно Кеплер пришел к выводу, что орбиты планет представляют собой не круги, а эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце («первый закон Кеплера»).

Полную запись лекции можно прослушать тут.

Накануне лекции 6 февраля 2014 годаАлександра Буфетова, докт. физ.-мат. наук, ведущего научного сотрудника Математического института РАН, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН имени Харкевича, профессора факультета математики НИУ-ВШЭ, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS), мы поговорили с лектором о теме его выступления. Беседовала Наталия Демина. 

Чем тема вашей будущей лекции «Математика случая. История теории вероятностей» кажется важной? Почему вы ее выбрали? 

Дело в том, что в отличие от многих других математических дисциплин становление теории вероятностей именно как области чистой математики, во-первых, заняло очень много времени. Происходило очень долго. Сама история становления теории вероятности очень драматична. Перед исследователями, помимо серьезных математических проблем, стояли и серьезные мировоззренческие проблемы, связанные с философией науки. С тем, чтобы поставить изучение случая на твердую математическую основу. 

Когда я еще учился в Принстоне, мой научный руководитель Яков Григорьевич Синай рассказал мне, что Алан Тьюринг – великий математик со страшной, трагической судьбой – начинал в теории вероятностей: его первая работа посвящена доказательству центральной предельной теоремы в форме Линдеберга. Тьюринг дал свое доказательство на 10 лет позже Линдеберга, но совершенно независимо [1]. Эта работа Тьюринга не была опубликована, но сейчас ее можно найти в электронном архиве Тьюрингав Кембридже .

Это показывается и тем, что попыток аксиоматизации теории вероятностей было много. Можно назвать и Рихарда фон Мизеса, и Сергея Натановича Бернштейна, и Бруно де Финнети. Связь теории вероятностей с теорией меры начали понимать до Колмогорова – например, Эмиль Борель (сам Колмогоров в предисловии к «Основным понятиям теории вероятностей» об этом пишет). Однако именно Андрей Николаевич Колмогоров дал окончательное построение аксиоматизации. 

Известно, что Н.Н. Лузин в одном из писем отговаривал А.Н. Колмогорова заниматься теорией вероятностей. «Прибавлю к этому, что то изменение в наших отношениях, которое я чувствую и которое нашло отражение вечером в Кремле, позволяет мне, как лицу много старшему Вас, сказать Вам, что мое желание, чтобы Вы несколько удалились от работ по теории вероятностей, – пишет Лузин. – И вовсе не потому, что Ваш вклад в нее не фундаментален: я прекрасно знаю, что он оценивается всеми, как равноценный вкладу классиков. Но самая-то теория вероятностей не стоит Вас: ее источники сомнительные („origine infernale“ – прямо заявляет Lebesgue), и ее действие на работающих в ней не положительное. Вам дан высокий дух, и я хочу, чтобы Вы его силы берегли для вещей, которые под силу очень немногим. Простите за откровенность». Здесь Лузин использует французский оборот “origine infernale” – адских корней этой теории. И вот о том увлекательном пути, как от «адских корней» математики пришли к строгой математической теории, я и расскажу. 

А что имеется ввиду под «адскими корнями»? 

Азартные игры, конечно. Если отвлекаться от истории теории вероятностей в древнем мире, о которой можно строить больше предположений, чем высказывать что-то точное, то фактически первое сочинение по теории вероятностей – это сочинение Джероламо Кардано, которое так и называется "De ludo aleae" («Об игре случая»). Речь в нем идет, разумеется, о расчетах в азартных играх. Вообще, Кардано – фигура удивительная, уникальная в истории науки. Мы подробно о нем поговорим.  

Переписка Паскаля и Ферма тоже всё время вертится вокруг азартных игр. Скажем, разбирается ситуация, в которой игроки играют в кости до пяти выигрышей, и пришлось прервать игру до того, как определился победитель. В какой пропорции следует разделить ставки, если игра прекратилась, когда у одного игрока три выигрыша, а у другого два. Вот эти «адские корни», за которыми мы и проследим.   

Можно ли сказать, что теория вероятностей – одна из ваших текущих специализаций? 

Я занимаюсь эргодической теорией, которая, конечно, очень связана с теорией вероятностей. Но тут можно привести шутливое высказывание Дж. Лео Дуба (Joseph L. Doob), замечательного американского исследователя  в области теории вероятностей, который, как мне рассказывали, приехав в Советский Союз, начал свое выступление словами: «Математика, как вы знаете, есть часть теории вероятностей». Это шутка, но, тем не менее, очень характерная.

Можно ли сказать, что в теории вероятностей сейчас наступил новый расцвет? 

Безусловно, теория вероятностей бурно развивалась весь XX век. Можно сказать, что сейчас очень известны исследования лауреата Филдсовской премии 2010 года Станислава Смирнова, связывающие теорию вероятностей, математическую физику и комплексный анализ. Вопросы моды всегда носят несколько случайный характер, поэтому я думаю, что нельзя сказать, что теория вероятностей является самой модной областью современной математики. 

Можно сказать, что удивительный расцвет переживает сейчас теория чисел. Доказана теорема Ферма, доказано существование бесконечного количества если не простых чисел-близнецов, то хотя бы дальних родственников и так далее. В прошлом году возникли продвижения в проблеме, которую поставили еще древние греки. 

Есть ли среди проблем тысячелетия, за которые обещаны крупные гонорары, те, что связаны с теорией вероятности? 

Вся математика в известной степени связана с теорией вероятности. По-видимому, можно сказать, что проблема, связанная с уравнением Навье-Стокса. В частности, Колмогоров написал знаменитые работы по теории турбулентности. Интересно, что эти работы он написал на физическом уровне строгости, эти работы были написаны как будто физиком, а не математиком, а математическое обоснование результатов Колморогова до сих пор остается открытым вопросом. Конечно, не удивительно, что объяснение турбулентности будет опираться на теорию случайных процессов, но так как этого объяснения пока нет, то это предположение остается спекулятивным. 

Как в России развивается теория вероятностей? Можно ли сказать, что она остается одной из ведущих стран в этой области математики? 

Да, конечно, в России и Франции теория вероятностей – традиционно краеугольный камень русской и французской математической школ. Пожалуй, в меньшей степени это можно сказать про англосаксонскую школу. 

А почему такой интерес к теории вероятности у русской и французской школ? 

Я думаю, что это обусловлено историей. Во Франции Паскаль, Ферма, Лаплас, ... В России исследования по теории вероятности восходят, по-видимому, к П.Л. Чебышеву, это петербургская школа, задолго до Колмогорова. Так что Чебышев, Ляпунов, Марков и потом, конечно, Колмогоров и его ученики. 

Сами творцы теории вероятности, не говоря уже о Колмогорове, например, академик А.А. Марков были людьми чрезвычайно яркими, очень необычными. Марков был знаменит не только математически, но и почти, можно сказать, скандально. В частности, он известен своим высказыванием по поводу 300-летия празднования царствующего Дома Романовых в 1913 году, что Академии наук было бы уместнее праздновать 200-летие закона больших чисел Бернулли (Ред.: такое предложение А.А. Марков сделал 12 января 1913 г. на Общем собрании и его идею поддержали, в частности, академики А.М. Ляпунов и В.А. Стеклов). Такое празднование Марков и организовал (Ред. в книге об А.А. Марковеотмечается, что торжественное заседание Академии наук, посвященное 200-летию закона больших чисел, состоялось 1 декабря 1913 г. Первым выступил А.В. Васильев с докладом«Вопросы теории вероятностей до теоремы Якоба Бернулли»).

Кроме того, Марков знаменит своим резким письмом в Священный синод по поводу отлучения от РПЦ графа Льва Толстого (1901). Позднее, в 1912 году, математик попросил отлучить и его от православной церкви, и синоду пришлось это сделать в 1912 году. Андрей Андреевич был чрезвычайно колоритной фигурой.

Примечания:

1. S. L. Zabell. Alan Turing and the Central Limit Theorem // The American Mathematical Monthly. Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 483-494.

Российско-американский математик Яков Синай получил престижную международную премию Абеля, сообщает официальный сайтнаграды.

Премия Абеля считается в научном сообществе аналогом Нобелевской премии, так как в последней награды за достижения в математике не вручаются. Размер премии Абеля составляет 750 тысяч евро.

Яков Синай работает в Принстонском университете и Институте проблем передачи информации Российской академии наук им. А.А. Харкевича. Сообщается, что премия присуждена за «фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодической теории и математической физики». Работы Синая тесно связаны как с теорией вероятности, так и со статистической физикой.

Синай в 2009 году был избран в иностранные члены Британского Королевского общества, является членом Национальной академии наук США, а с 2012 года также является действительным членом Американского математического общества.

Мы публикуем стенограмму и видеозапись лекции доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Математического института имени Стеклова, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН, профессора факультета математики Высшей школы экономики, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS) Александра Буфетова, прочитанной в рамках цикла «Публичные лекции "Полит.ру"» 6 февраля 2014 г.

Текст лекции

Борис Долгин: Добрый вечер, уважаемые коллеги. Мы начинаем очередную лекцию из цикла «Публичные лекции «Полит.ру»». У нас получился такой подцикл лекций с Институтом проблем передачи информации. Наш сегодняшний гость – Александр Игоревич Буфетов, доктор физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИППИ РАН имени Харкевича, профессор факультета математики НИУ-ВШЭ, директор исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS). Сегодня мы говорим о теории вероятностей, тема звучит: «Математика случая. История теория вероятностей».

Надо сказать, что это та часть математики, которая, хотя известна и не всем гуманитариям, но может оказаться одной из самых полезных для них. Если они только возьмутся в ней разобраться. Регламент традиционный: сначала лекционная часть, затем можно будет задавать вопросы, высказывать комментарии, но только в микрофон, представляясь, для стенограммы, не таясь от читателей. Пожалуйста, Александр.

Александр Буфетов: Спасибо большое. Для меня  большая честь выступать в рамках проекта «Полит.ру». Мы начнем рассмотрение математики случая, и даже, в первую очередь, того, как исследование случая стало математикой. Как мы увидим, это очень долгий, очень драматичный процесс, занявший много веков. И, собственно, то, что теория вероятностей стало областью математики – это событие XX века. Как раз об истории этого события я и хочу поговорить.

Мы сначала обратимся к самому понятию случая. Кстати, прежде чем приступать к делу, скажу, что я старался, чтобы лекция была доступной совсем не математикам. Но очень может быть, что я где-то ошибся в своих предположениях, тогда, пожалуйста, спрашивайте.

Итак, мы обратимся сперва к философской категории случая. Существует ли случай, что такое случайное – этот вопрос обсуждали греки. Я буду держаться в рамках европейской традиции. Есть интереснейшие исследования про, скажем, индийских или среднеазиатских философов, но от этого я полностью, по незнанию своему, уйду.

Итак, мы обратимся к Левкиппу, учителю Демокрита, который пишет совершенно недвусмысленно, что случая не бывает, а все происходит по необходимости. Это стандартное выражение идеи детерминизма, с которым мы столкнемся еще много раз, и вплоть до XX века.

Итак, Левкипп говорит, что случая нет. Мы, к сожалению, не располагаем точными цитатами, которые позволили бы сказать, что по этому поводу думает Демокрит. А позднейшие комментаторы утверждают вещи прямо противоположные. Одни говорят, что Демокрит считал, что случай как раз есть, что явления природы подразделяются на случайные и необходимые, другие утверждают, что Демокрит считал, что случая никакого нет. Ясности в комментариях на этот счет тоже нет.

Поэтому мы сразу обратимся к Аристотелю, который утверждает в «Метафизике», что случай как раз есть. И вот он пишет совершенно четко: возможно, что для какого-то события нет определенной причины, и это – случайность. Вот это самое греческое слово Τύχη «Тюхэ», обозначающее случай. Именно неопределенная причина, тут дословный перевод греческого слова Аoriston.

Аристотель приводит характерный пример: если путешественник ехал не в Эгину, но в результате морской бури или из-за того, что был пойман пиратами, оказался в Эгине, то вот это как раз проявление случая. Кроме того, Аристотель подробно пишет об этом и в своей «Физике», и, разбирая различные причины явлений, он пишет совершенно ясно, что случай Τύχη «Тюхэ» нужно воспринимать среди причин.

Я привожу здесь краткую цитату, но в «Физике Аристотеля» этот вопрос разбирается достаточно подробно. Для Аристотеля случайное вполне существует. И никого из нас не удивит, что вся эта тематика изначально увязывается со свободой воли человека. Здесь мы обратимся к Эпикуру, который пишет, вступая в противоречие с Левкиппом, что некоторые вещи происходят по необходимости (некоторые, но не все), а другие, напротив, волей случая. И наконец, еще другие – по нашей собственной воле. И, – пишет Эпикур, – разумеется, если все происходит по необходимости, то и нет свободы воли (в несколько вольном пересказе).

Так что сразу греки смотрят на все те вопросы, над которыми и философы науки XX века, скажем, Пуанкаре, тоже ломали голову. И мы несколько спекулятивно можем спросить себя, а почему греки не занимались математической теорией вероятностей? Казалось бы, чтобы выписать все комбинации при бросании трех костей (а в кости греки даже очень играли, и об азартных играх мы будем говорить подробнее в течение сегодняшней лекции), потому что в игре всегда использовалось несколько костей, казалось бы, не нужно ничего особенного.

Но греки совершенно этого не сделали. И тут можно спекулировать, почему не сделали. Я от таких спекуляций воздержусь, а замечу только, что правильно такие комбинации были выписаны очень-очень поздно, и было много неправильных попыток и неправильных ответов, как мы увидим в течение лекции.

Расставаясь с классиками, я позволю себе небольшое отступление, и приведу любопытную цитату из Лукреция Кара, которая показывает, что броуновское движение совершенно напрасно называется броуновским движением, а надо было бы называть его движением Лукреция:

Кроме того, обратить тебе надо вниманье

На суматоху в телах, мелькающих в солнечном свете,

Что из нее познаешь ты материи также движенье,

Происходящее в ней потаенно и скрыто от взора.

Ибо увидишь ты там, как много пылинок меняют

Путь свой от скрытых толчков, и опять отлетают обратно,

Всюду туда и сюда разбегаясь во всех направленьях.

Знай же, идет от начал всеобщее это блужданье.

Первоначала вещей сначала движутся сами,

Следом за ними тела из малейшего их сочетанья,

Близки, как бы сказать, по силам к началам первичным,

Скрыто от них получают толчки, начинают стремиться

Сами к движенью затем понуждая тела покрупнее.

Так, исходя от начал, движение мало-помалу

Наших касается чувств, и становится видимым также

Нам и в пылинках оно, что движутся в солнечном свете,

Хоть незаметны толчки, от которых оно происходит.

Ну, просто, ни дать, ни взять, цитата из современного учебника физики, описывающего Броуновское движение.

Мне нужно сказать о моих источниках, я активно черпал из двух книг Л.Е. Майстрова «Развитие теории вероятностей» и «Исторический очерк по теории вероятностей», это были основные мои источники для этой лекции, но, впрочем, были некоторые другие второстепенные, о которых я скажу позже.

Мы расстаемся с греками, делаем большой скачок и обращаемся сразу к Rinascimento, к Итальянскому Возрождению, и наш следующий герой – это Лука Пачоли, мы видим его портрет из галереи Каподимонте в Неаполе.

Лука Пачоли написал фундаментальный труд, имевший огромное влияние на современников, и мы это увидим и подробнее, об арифметике, о пропорциях, о пропорциональности. В частности, он приводит такую задачу в главе «Необычные задачи». Я сейчас ее процитирую полностью, и мы, кстати сказать, попробуем с этим разобраться. Я приведу сперва задачу Пачоли, а потом мы рассмотрим задачу все-таки немножко более простую.

Итак, Пачоли пишет: компания играет в мяч до шестидесяти очков и делает ставку в двадцать два дуката, имеется ввиду – до того, как будет забито шестьдесят мячей. По непонятным обстоятельствам, игра не может быть закончена, ну мало ли, дождь пошел, или обедать позвали. Причем одна сторона имеет пятьдесят мячей, а другая тридцать. В какой пропорции следует разделить ставку?

Давайте возьмем какой-нибудь более простой пример, пример, который потом будут рассматривать Паскаль и Ферма. Два игрока поставили на кон по десять золотых дукатов. Игра идет до трех побед. Игра, скажем, в кости или в орлянку, выбрасывается орел или решетка, и соответственно, один из игроков побеждает в одном случае, другой – в другом. Игра идет до трех побед, победитель забирает все. Игра по какой-то причине остановилась, если у одного игрока две победы, а у другого одна.

Тут есть еще одно решение – чтобы игроки сыграли еще один кон, это подсказка, тем не менее, вот мой вопрос к публике, при этом я прошу профессиональных математиков воздержаться от отвечания. Вопрос к публике: в каком соотношении следует разделить ставки? Игра идет до трех побед, у одного игрока две победы, ясно, что его шансы больше. У другого игрока одна победа, его шансы меньше, но в каком соотношении следует разделить ставки, какие будут предложения?

Я сразу скажу, что предлагает по этому поводу Пачоли, он предлагает в задаче про мячи, но в сущности, это задача того же свойства, разделить ставки в соотношении по числу побед. То есть  в случае, у него там было пятьдесят и тридцать мячей, в этом случае он предлагает два к одному. Какие будут другие предложения?

Зритель: Предложение поровну разделить, потому что они играют примерно одинаково.

Александр Буфетов: Да, речь идет о том, разумеется, что в этом случае, что просто бросаются кости, и соответственно, одинаковы шансы выпадения и того, и другого.

Зритель: Мы вообще не можем разделить, пока не закончена изначальная игра.

Александр Буфетов: Нет, ну и все же. Задача практическая. Ситуация практическая, что делать? Вопрос же совершенно практический: вот они играют, им надо разойтись. Как-то им всё равно надо разойтись? Может быть, я непонятно объяснил. Еще раз: бросается монетка, если она выпадает орлом, то победа засчитывает первому игроку, если она выпадает решеткой, то победа засчитывается второму игроку, больше никаких ходов нет. То есть бросается монетка, предполагается, что она честная, так что шансы выпадения одинаковые. До трех орлов. Вот выпало три орла прежде решетки, и соответственно все себе забирает первый игрок. Если выпало три решетки, прежде, чем три орла, все себе забирает второй игрок. А вот тут получилось, что выпало два орла и одна решетка, и там, надо спешить на лекцию в «Полит.ру», и продолжать игру нет возможности.

Зритель: Нужно два разделить на три, получается….

Александр Буфетов: Нет, ответ, ответ, в каком соотношении? Как разделить?

Зритель: Один к трем.

Александр Буфетов: Один к трем, почему?

Зритель: Три к одному.

Александр Буфетов: Значит, зал «Полит.ру» предлагает три к одному. Так, как бы нам с этим разобраться.

Зритель: Поровну.

Александр Буфетов:  Поровну, простите, да, поровну. Вы совершенно правы, да, поровну.

Зритель: А можно все разделить в одну сторону?

Александр Буфетов:  Все отдать первому игроку?

Зритель: Просто у него шансов больше.

Александр Буфетов:  Все отдать первому игроку, можно.

Зритель: Еще тот, кто играет 2:0, тот получает приз.

Александр Буфетов:  Тут давайте не будем уклоняться от условий задачи.

Зритель: Тут два варианта есть: или выиграет один, или будет ничья. И тогда будет равный счет.

Александр Буфетов:  Совершенно справедливо. В том, что вы сказали, в этом и состоит решение Паскаля. Его решение состоит в следующем: игра в любом случае закончится через два кона. Если в следующем коне выпадет орел, то первый игрок уже выиграл. Если же выпадет решетка, то получается «вилка», то есть во втором туре шансы одинаковы. Поэтому Паскаль излагает решение примерно так: вот из этих двадцати дукатов, десять дукатов первый игрок забирает в любом случае, как бы ни повернулось. А дальше есть уже неопределенность. И соответственно в соотношении три к одному предлагается разделить, потому что такова вероятность.

Можно еще так это увидеть, какие есть варианты: представьте себе два кона, если выиграл первый, то второй можно уже не рассматривать, то есть эти варианты идут в зачет первому игроку. А, соответственно, если в первом случае выиграл второй, то в этом случае есть два варианта. В одном случае опять выигрывает первый, а в этом случае, и только в этом случае выигрывает второй, соответственно у первого игрока есть три шанса, а у второго только один, и отсюда получается решение три к одному.

Я хочу заметить сейчас только то, что на это рассуждение, на вот такое решение потребовалось очень много лет. Переписка Паскаля и Ферма – это середина XVII века, а задача, как видите, встречается уже в работе Пачоли 1492-го года. То есть на то, чтобы правильно решить эту задачу, потребовалось несколько веков. Так или иначе, замечу, что критику предложения Пачоли делить пропорционально числу побед дал итальянский математик Тарталья.

Он сказал: пусть второй игрок вообще ничего не выиграл, то есть два раза выиграл первый игрок, и ни одного раза не выиграл второй. Что ж, ему вообще ничего не нужно дать? Но ведь какой-то шанс на победу у него все-таки есть, и это было бы нечестно. Так или иначе, то, что решение Пачоли неверное, это Тарталья понял. А вот дать правильное решение у Тартальи не получилось, он дает ответ неправильный.

Мы видим ситуацию в Италии эпохи Возрождения - задачи ставятся, а ответов на них нет. И более того, вот этот самый подсчет комбинаций оказывается чрезвычайно затруднен, и это можно увидеть из следующего фрагмента, несколько предшествующего работе Пачоли. Значит, еще раз, мой тезис состоит в том, что правильно выписать комбинации, возникающие, скажем, при бросании костей, оказалось сложной задачей. И мы, чтобы проиллюстрировать этот тезис, уходим немножечко назад, мы обращаемся к Данте, который описывает игру в кости в шестой главе «Чистилища»:

Когда кончается игра в три кости,

То проигравший снова их берет

И мечет их один, в унылой злости;

Другого провожает весь народ;

Кто спереди зайдет, кто сзади тронет,

Кто сбоку за себя словцо ввернет.

А тот идет и только ухо клонит;

Подаст кому, - идти уже вольней,

И так он понемногу всех разгонит.

Таков был я в густой толпе теней,

Чье множество казалось превелико,

И, обещая, управлялся с ней.

Перевод Лозинского. Для нас тут важно не только то, что описывается игра в кости, а то, что Данте комментировался. Точно также, как греки комментировали Гомера. Даже сейчас 80% папирусов, которые мы находим, это папирусы, содержащие тексты Гомера. Точно также в Италии Возрождения комментировали Данте.

Было великое множество комментариев, но нас интересуют комментарии венецианца Бенедетто д'Имола, который как раз объясняет для читателя, как проходит игра в три кости и, в частности, выписывает всевозможные комбинации. Только выписывает он их неправильно. Он считает, что за одну комбинацию, скажем, может на одной кости выпасть единичка, на другой шестерка, а может на другой кости выпасть шестерка, а может единичка. Вот эту комбинацию он считает за одну, то есть допускает ошибку при выписывании комбинаций. Говорю я это только для того, чтобы подчеркнуть, насколько сложна эта задача комбинаторного анализа.

Первый математик, который переводит эту дискуссию на совершенно новый уровень, это Джеролано Кардано, который пишет замечательный труд «Об игре случая» или «О случайных играх». Речь, разумеется, идет об азартных играх. Азартные игры известны с глубокой древности. Играли в древности костями, костями животных, использовалась кость, которая называется «астрагал».

Астрагал – это кость парнокопытного животного, находящаяся как раз над копытом, она замечательна тем, что у нее есть несколько граней, ее удобно держать в руке, она сама полируется от того, что ее держишь.

Астрагалы находят в очень древних захоронениях, гораздо раньше греков, но мы не имеем точных сведений, что они использовались для игры. Это остается только гипотезой. Напротив того, Геродот пишет, что игру в кости придумали лидийцы, потому что в Лидии был голод, и так как есть было нечего, то жители развлекали себя игрой в кости. Так игра в кости и возникла.

Другая версия, что игра в кости была придумана во время троянской войны, потому что опять-таки осада Трои затянулась, делать было нечего, и играли в кости. Так или иначе, игра в кости, конечно, была чрезвычайно популярна в Греции, а также в Риме. Император Август был страстным игроком в кости, что следует из переписки.

Светоний пишет, что император Клавдий даже написал книгу об игре в кости (книга, к сожалению, до нас не дошла). Во всяком случае, игра в кости была чрезвычайно популярной, и опытный греческий игрок хорошо представлял себе варианты выпадения различных комбинаций. Точно также, как сегодня опытный игрок в покер примерно представляет, даже если он никогда не занимался теорией вероятностей, какие варианты более-менее вероятны. Точно также.

Интересно здесь то, что приз, который назначался за выпадение той или иной комбинации, совсем не точно связан с вероятностью. Например, одной из самых прибыльных комбинаций была такая, в которой на четырех разных костях выпадали четыре разных символа. Это называлось «Венера». Но «Венера» - это не самая маловероятная комбинация. Надо заметить, что астрагал не совсем симметричен, не совсем кубик, поэтому разные грани выпадают с разной вероятностью. Это видно, если взять в руки астрагал. И, кстати, Кардано этого не знает, откуда историки делают вывод, что он, наверное, с астрагалами не играл. Так или иначе, в греческой игре призы не были увязаны с вероятностными соображениями.

Сочинений о том, как выиграть в кости, была тьма, хотя мы обычно вспоминаем Достоевского. Это было очень популярное занятие, и вот мы обращаемся к тому сочинению, которое представляет собой очень важный этап в развитии теории вероятностей. Сперва я хочу совсем коротко поговорить о Кардано, и я попробую (тоже попросив профессиональных математиков воздержаться от комментариев), попробую спросить у публики, что сделал Кардано в математике? Помимо азартных игр. Какие достижения Кардано в математике?

Зритель: Уравнения Кардано.

Александр Буфетов: Совершенно верно, уравнения. Уравнения, с которыми связана драматичная история, о которой как раз я говорить не буду. О самом же Кардано скажу буквально несколько слов. Отец Кардано был знакомым Леонардо да Винчи, он был врачом и адвокатом, а кроме того, в свободное от работы время, читал лекции в университете итальянского города Павия, основанном Карлом Великим.

Мальчик Джероламо был незаконнорожденным. Замечу, немного забегая вперед, что Колмогоров тоже был незаконнорожденным. Но в Италии конца XVI века, в отличие от Российской Империи, как показывает пример Фета, всю жизнь страдавшего от своего незаконного рождения, в Италии незаконное рождение не ставило серьезных препятствий в развитии карьеры. Он учится в Университете Павии, потом в Милане и Падуе, становится доктором медицины, женится, и начинает работать как медик (Кардано, между прочим, был известнейший медик). Ему в ученики каким-то чудеснейшим образом попадает Людовико Феррари, который решил как раз уравнение четвертой степени. Формула решения называется «Формула Феррари». Но решил он это уравнение, находясь как раз в доме Кардано.

Начинает писать о математике только в 1539 году, я не взял годы жизни на слайд, я напишу их здесь. Входит в острый конфликт с Николо Тарталья по поводу решения уравнений 3-ей степени, публикует свою книгу «Книга о великом искусстве» - учебник алгебры, оказавшийся одним из самых влиятельных трудов по алгебре на много столетий вперед. Та самая книга, где он решил уравнение третьей степени, украв, как считает Тарталья, у него. Феррари, например, защищает своего учителя. Любовь и преданность к своему учителю очень видна из переписки Феррари и из переписки с Тартальей.

В 1552-м году Кардано лечит архиепископа шотландского. Его из Италии, из Милана, через всю Европу везут, чтобы он вылечил шотландского архиепископа. Лечение оказалось удачным. Интересно, что рекомендации Кардано сохранились и сводятся к тому, чтобы нужно вести здоровый образ жизни. Кроме того, Кардано советует архиепископу, который страдал от астмы, не спать на перьях, а спать на шелке. То есть некое понятие об аллергиях у Кардано было.

Кардано – поляризующая фигура в истории науки. Я посмотрел несколько историй его биографий, и сразу видно, что оценка, которую биограф дает Кардано, больше говорит о том, что сам биограф думает о человеке-Кардано. Оценки полярные, даже и в сочинениях XX века. Я процитирую Лейбница: «Кардано был великий человек со всеми своими недостатками. Если бы этих недостатков у него не было, был бы человек несравненный».

Так или иначе, тут на Кардано обрушивается удар судьбы. Его старший сын неудачно женился, да так неудачно, что, в конце концов, отравил свою жену мышьяком, и чуть ли все семейство не отравил. Преступление было раскрыто, и мальчика казнили. Кардано, чрезвычайно влиятельный врач с европейской славой, которого в Лондоне принимал король, напряг все каналы своего влияния, чтобы вытащить сына из тюрьмы, но ничего не помогло, его судили и пытали, отрубили левую руку, а потом казнили. И это был страшный удар для Кардано.

В 1562 году он берет отставку в Университете Павии и перебирается в Болонью к Феррари. Но Феррари тут отравила жена, и в Болонье обстоятельства для Кардано складываются не очень благоприятно. По некоторым сведениям то, что он очень любил принимать мальчиков у себя в доме, не нравилось властям. Впрочем, в Италии к этому относились совершенно спокойно, и возможно, причины были совершенно другие.

Так или иначе, в 1570 году он попадает под домашний арест, и обвиняется в ереси. Дело в том, что он составил гороскоп Иисуса Христа. А это, конечно, ересь - составлять гороскоп Иисуса Христа. Составил он его за 30 лет до того, как его арестовали. Но у инквизиции око недреманное, и Кардано отправляется в тюрьму. Из тюрьмы ему, впрочем, удается выйти, и  с другим своим учеником, Рудольфо Сильвестро, Кардано отправляется в Россию.

Кардано был счастлив в учениках. Он в людях возбуждал противоположные чувства. Из его современников некоторые его ненавидели, другие любили. Он воспитал гениального математика Людовико Феррари, и он воспитал замечательного врача Рудольфо Сильвестро, с которым он едет в Рим, где на удивление, несмотря на обвинения в ереси, к Кардано относятся очень тепло, и он под присмотром Сильвестро кончает свои дни. 20-го сентября 1576 года он умирает в Риме.

Кардано – автор 131 книги, 111 манускриптов, которые будут изданы собранием сочинений в 10 фолиантов через 100 лет в Леоне. И 170 манускриптов, как пишет сам Кардано, которые он сжег, считая их недостойными опубликования. Хотя сочинения Кардано, в известной степени, компилятивны. Например, его первая работа по математике, – это как раз обработка Пачоли. Он учил своего ученика Людовико Феррари, естественно, по учебникам Пачоли, как и вся Италия в это время. И заодно переписал его, достаточно изменив и дополнив.

Он обладал удивительной жаждой познания, и кроме того, удивительным желанием поделиться знаниями и размышлениями со своими читателями. В частности, он написал автобиографию «О моей жизни», которая много раз переводилась и издавалась (я сам не читал), про которую комментаторы говорят, что «Исповедь» Жан Жака Руссо просто детский лепт по сравнению с автобиографией Кардано. Что откровенность, которой достигает Кардано в описании своей жизни, своих недостатков, разных событий, совершенно не имеет аналогов ни в средневековой литературе, ни в литературе Нового Времени.

Кардано был страстным игроком, и, так как доходы у него были очень значительные, а при этом семья все время была без денег, по-видимому, он проигрывал больше, чем выигрывал. Несмотря на то, что утверждает обратное в своих книгах. Так или иначе, вот он написал труд, интересующий нас «Об азартных играх или об игре случая». Естественно, он подробнейшим образом разбирает игры, правила, всевозможные варианты; как играть, как понять, что ваш партнер недобросовестен и т.п. То есть это, в первую очередь, практическое руководство для играющего.

Но при этом Кардано делает несколько фундаментальной важности наблюдений для развития исчисления вероятностей. Как я уже сказал, фигура Кардано вызывает полярные оценки, соответственно, и оценка его вклада в теорию вероятностей, сильно зависит от того, находится биограф под обаянием Кардано или нет. Самые восторженные комментаторы говорят, что Кардано уже предвосхитил закон больших чисел Бернулли. Комментаторы, которым не нравится Кардано, категорически это отвергают.

В чем нет сомнений – это в том, что Кардано уже владеет исчислением комбинаций, что уже у него есть идея вероятностного пространства, пространства всевозможных исходов равновероятных. Что надо разделить все возможности, зависящие от случая, в равновероятные исходы, и тогда вероятность будет пониматься как число благоприятных комбинаций к общему числу комбинаций. И Кардано уже очень близко подходит, а в сущности, пишет формулу для умножения вероятностей. Учитывая, что вероятность – это пропорция благоприятных исходов, то формула для сложения вероятностей уже как-то была ясна. А вот формула умножения вероятностей – открытие Кардано.

Здесь мы расстаемся с этим замечательным исследователем, и я перехожу к уже известным творцам теории вероятностей, о которых можно прочесть в самых разных руководствах по истории теории вероятностей, поэтому я пройду их более бегло.

Конечно, тут надо сказать про задачу шевалье де Мере, тоже идущую от игры в кости, и о переписке Паскаля и Ферма, где они как раз дали правильное решение задачи разделения ставки, во всяком случае, согласующееся с теорией вероятностей.

Говоря о задаче разделения ставки и правильном ее решении, я хотел бы сделать замечание, важное для дальнейшего. Вот кто-то говорил: давайте разделим всё поровну, или давайте первый всё заберет. Ясно, что, как разделить ставку, это вопрос психологический, – как хотят, пусть так и разделят. Тут есть элемент субъективного. И вот эта серия вопросов, которая в большей степени относится к философии, чем к математике, случай существует объективно, или, как пишет Пуанкаре, «мера нашего незнания»? Что такое эта субъективная случайность? Мы увидим, что все эти вопросы всплывут при попытках построения аксиоматической теории вероятностей. Но это все впереди.

Итак, я сказал про переписку Паскаля и Ферма, ей посвящено много исследований, поэтому я не буду останавливаться на ней подробно.

Удивительно, как практика науки в XVII веке отличалась от нашей, не говоря уже о XVI веке. И в этом смысле Кардано, который все всегда публиковал, ведет себя, как современный исследователь. А вот, например, Паскаль и Ферма писали друг другу письма, публика знала, что эти письма существуют, и знала, о чем эти письма, знала, какая задача решается в письмах, знала, какой ответ – что делить три к одному. Но сами письма известны не были, они были изданы гораздо позже.

И Гюйгенс свое сочинение, фундаментальный труд о теории вероятностей как раз начинает с доказательства результатов, о которых он знал, что они содержатся в переписке Паскаля и Ферма, но саму переписку он не видел. Поэтому он и говорит, что он переоткрывает результаты Паскаля и Ферма, приоритета он себе приписать не может, но он эти результаты получил самостоятельно.

Мы же обращаемся к новой эпохе в развитии теории вероятностей, к сочинению «Искусство предположения» Якова Бернулли, профессора в Базеле, члена Парижской Академии Наук. И вот факсимиле его главного труда Аrs Сonjectandi.

Тут надо сказать, что по-гречески это будет «Стохэстикэ Технэ», отсюда и происходит слово «стохастика». Что такое «стохас» – это цель, мишень. Стохастика – это искусство предположения, искусство попадания в цель.

Труд Бернулли – в четырех частях. В этом труде теория вероятностей выходит на совершенно новый уровень. Первая часть сочинения Бернулли – это комментарии к работе Гюйгенса. Сейчас в школьный учебник включены элементы теории вероятностей. Вычисление комбинаций школьники в России проходят, кажется, в 9-м классе.

Я помню, когда я учился в школе, на меня произвело неизгладимое впечатление, что школьный учебник доводит школьника до конца XVII века. Я думал, а когда же можно выучить все, что сделано за последние 300 лет? Во всяком случае, в начале XVIII века уже есть математический анализ, какие-то начала дифференциальных уравнений, и геометрию эти мастера знают, может быть, и гораздо лучше, чем современные работающие математики. Геометрию Евклида, я имею в виду. А вот это искусство правильного исчисления комбинаций, в котором именно Бернулли ставит точку, оказалось чрезвычайно трудным.

Первая часть – это комментарии к книге Гюйгенса; вторая часть – комбинаторика. Именно комбинаторика, вычисление всевозможных комбинаций, биномиальный коэффициент, то, что мы сейчас называем распределением Бернулли, какова вероятность при n играх в орлянку, что успех будет достигнут десять, например, раз. Все это вторая часть труда.

Третья часть – двадцать четыре задачи с решениями. И главная для нас четвертая часть, которая называется очень интересным образом «Применение предыдущего учения к гражданским, моральным и экономическим вопросам». Четвертая часть – это неоконченная часть сочинения.

Экономические вопросы, это, в первую очередь, вопросы демографии. Как вы знаете, и Спаситель наш (Ред. – Иисус Христос) был включен в перепись населения при Императоре Августе. Именно в Риме начали переписывать население, и уж конечно это было и в итальянских республиках, и были там, скажем, контракты на страхование судна. Такие контракты, может быть, и у греков были, но тут ясности меньше.

Известно, что из 10-ти судов, отправляющихся в Африку, несколько, конечно же, не вернутся. Вот эти самые контракты о страховании: какую нужно назначать сумму? Вот об этой всей проблематике и идет речь, когда говорят об экономических вопросах. И, разумеется, вопросы демографии, скажем, вопросы продолжительности жизни, сколько рождается мальчиков и девочек.

Например, вычислить население Лондона трудно, но известно, например, сколько рождается, во всяком случае, сколько, например, крестят в данном приходе, так как это фиксируется в записях. И соответственно, проводя вычисления, можно оценить по общему числу рождений общее население Лондона. И т.д. Это все я оставляю за кадром.

Четвертая часть сочинения Бернулли – это именно закон больших чисел, который Бернулли, важно подчеркнуть, доказывает абсолютно математически достоверно и четко. Доказательство Бернулли, в некотором частном случае, – это то доказательство, которое сейчас написано в школьном учебнике.  Вот такое удивительное свойство математики, математическое доказательство, как и стихи, не стареет. В сегодняшнем учебнике дается доказательство Евклида про бесконечные количества простых чисел, то самое доказательство, которое вы изучали в школе. Его придумал Евклид, и оно вот так без изменений пришло в сегодняшний учебник. Аналогичным образом доказательство закона больших чисел Бернулли – абсолютно безупречное доказательство. Интересует нас здесь, в первую очередь, детерминизм, как Бернулли относится к самому понятию случая. Мы увидим, что Бернулли вместе с Левкиппом, и против Аристотеля.

Итак, Бернулли рассуждает о случайных событиях. Он приводит характерный пример –затмения исчисляются достаточно точно, уже это вполне умели делать еще и греки, а вот прогнозировать погоду мы и сейчас не умеем, и тем меньше умели современники Бернулли. «Однако, – пишет Бернулли, – только затмения причисляются к явлениям необходимым, падение же кости и будущая погода – к случайным. Причина этому исключительно та, что предполагаемое данным для определения данных последующих действий, на самом деле, в природе нам недостаточно известны. И если бы даже и были известны, то недостаточно развиты математические и физические знания, чтобы исходя из данных причин подвергнуть такие явления вычислениям».

Иначе говоря, тезис, который будет потом повторяться, что случай – это только мера нашего незнания. То есть на самом деле все известно. Этот тезис переходит из сочинения в сочинение. Гоббс пишет, что мы не знаем, как выглядит кость, но если б мы точно знали, каким образом ее бросила рука игрока, и под каким углом она упала, то мы бы точно знали, как она выпадет, поэтому на самом деле, ничего случайного нет. Бернулли, так или иначе, стоит на позициях детерминизма, несмотря на вероятностные свои достижения, и считает, что случай – это только мера нашего незнания.

Немного забегая вперед - Пуанкаре приводит прекрасный пример на этот счет, он говорит: если вы придете в агентство по страхованию жизни, вам зададут соответствующие вопросы, и назначат плату. При этом, разумеется, агентство не знает деталей вашей медицинской истории, и все равно существует и извлекает прибыль. Теперь представьте себе, говорит Пуанкаре, что болтливый врач пришел к страховщику с медицинскими картами своих клиентов. Теперь страховщик точно знает, у кого печень, у кого сердце и т.п. Но он извлекать прибыль от этого не перестает. Его знания стали точнее, но прибыль он извлекать не перестает. Так и, говорит Пуанкаре, наши вероятностные заключения связаны с несовершенством наших знаний, мы не знаем, но от этого они становятся менее точными, потому что они связаны с усредненными рассмотрениями.

Говоря о детерминизме XVIII века, я хочу еще привести цитату из Лапласа, цитату прославленную и оказавшую большое влияние на развитие науки в целом, а не только теории вероятностей. Лаплас пишет: «Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех её составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движение величайших тел вселенной наравне с движениями легчайших атомов; не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же, как и прошедшее, предстало бы пред его взором».

Таким образом, позиция Лапласа, давшего фундаментальные результаты в теории вероятностей, состоит в том, что в действительности, если бы мы только знали начальное положение и начальную скорость, то мы бы знали все прошлое, все будущее и никакого случая никогда и ни за что не было бы.

Я бегло прохожу здесь следующие этапы развития теории вероятностей. Так, Эйлер пришел к решению вероятностной задачи, потому что король Пруссии поручил ему организовать лотерею.

Прусский бюджет был истощен войной, его требовалось пополнить, и было принято решение организовать лотерею, а лотерею организовывал Эйлер, она успешно прошла.

Муавр и Лаплас дают центральную предельную теорему теории вероятностей, то, что мы сейчас называем «Гауссов закон ошибок». Те, кто еще помнят немецкие марки, помнят, что, кажется, на десятимарочной банкноте  был этот самый нормальный закон ошибок изображен вместе с портретом Гаусса. Во всяком случае, уже Муавр и Лаплас дают эту центральную предельную теорему, но не дают для нее, впрочем, строгого предельного доказательства, это очень важно.

Пуассон занимается вероятностными рассмотрениями тоже без строгих доказательств. Я хочу подчеркнуть, что теория вероятностей воспринимается в Европе как область не математики, и это вплоть до середины XX века. Вероятностные рассуждения носят какой-то такой нематематический характер. Никто не считает, что вероятность – область чистой математики. В частности, Муавр и Лаплас не дают математических доказательств своих верных результатов, в отличие от Эйлера.

Теперь мы обращаемся к теории вероятности в России, постепенно идем к математике Колмогорова. И первая фигура, к которой мы обращаемся, это Пафнутий Львович  Чебышев. Это замечательная фигура в истории математики и науки, пожалуй, недостаточно оцененная. Тут я вновь могу спросить публику, что сделал  Чебышев, каковы его достижения?

Зритель: полиномы.

Александр Буфетов: А что такое полиномы? В чем их особенность?

Зритель: Они определяются кривыми.

Александр Буфетов: Любой полином определяется кривой. Но, действительно, полиномы Чебышева, которые от нуля уклоняются меньше всего. Чтобы не усложнять свой рассказ, я только скажу, что Чебышев первым начал рассмотрение ортогональных полиномов как отдельного предмета исследования. Отдельные полиномы рассматривали Лежандр, Якоби и другие исследователи, но вот саму теорию создал Чебышев.

Чебышев интересен для нас своими сочинениями по теории вероятности. Замечу, что теория вероятности была одной из любимых дисциплин Пафнутия Львовича, а теория вероятности изучалась в университетах Российской Империи. Любимыми предметами  Чебышева были теория чисел и теория вероятностей, к которым он обращался 31 раз.

31 раз он прочел курсы по теории чисел и теории вероятностей. Он написал 4 работы по теории вероятностей, магистерскую диссертацию, доказательство закона Пуассона, доказательство закона больших чисел в более общем ключе, чем у Бернулли, и, в сущности, в той общности, в которой он встречается в сегодняшнем учебнике.

И главная работа  Чебышева, дело всей жизни, это – доказательство центральной предельной теоремы Муавра и Лапласа. К сожалению, он не смог дать абсолютно безупречного доказательства, И тут нужно четко сказать, что  Чебышев уже стоит на позициях, это очень важно, и совершенно не имеет аналогов в Западной Европе, что теория вероятностей – это математика, что ее теоремы надо доказывать.

Вы можете спросить, как же так, аксиоматика Колмогорова, а теорема Чебышева. Очень просто. Утверждения, относящиеся к теории вероятностей, переформулируются из чистого анализа, это можно сделать, и они уже доказываются. Утверждения доказываются строго (например, утверждения из чистого анализа, о сходимости каких-то рядов), а вот связь их с теорией вероятностей остается в области фантазии.

То есть само понятие случайной величины не может быть в математической работе, потому что это не математика для математиков XIX века. Колмогоров пишет о  Чебышеве: «Вывел русскую теорию вероятностей на первое место в мире П.Л.  Чебышев. С методологической стороны основной переворот, совершенный  Чебышевым, заключается не в том, что впервые с полной настойчивостью он выдвинул требования абсолютной строгости доказательства теорем. Выводы Муавра-Лапласа и Пуассона были с формально-логической стороны совсем не безупречны, в отличие от Бернулли, который свою предельную теорему доказал с исчерпывающей строгостью. Но главным образом и в том, что  Чебышев всюду стремится получать точные оценки».

Для нас тут важно, что для  Чебышева теория вероятностей – это математика. Хотя эти сочинения для него ветвь анализа, а вероятностные связи остаются полностью в стороне.

Обратимся совсем коротко к двум его замечательным ученикам – Александру Михайловичу Ляпунову, который продолжал исследования  Чебышева, и, в частности, дал ту формулировку центральной предельной теоремы, которая есть сейчас в экзаменационных билетах. А главное, к замечательному академику – Андрею Андреевичу Маркову,  о котором я скажу несколько слов, хотя он, конечно, заслуживает совершенно отдельной лекции.

Марков, как я и говорил в интервью «Полит.ру» перед лекцией, прославился, среди прочего, и тем, что когда праздновали 300-летие Дома Романовых, то он организовал как бы в пику празднование 200-летия больших чисел. И, кстати, Академия Наук недавно отпраздновала 300-летие больших чисел наряду с празднованием 400-летия Дома Романовых в прошлом году. Марков  написал в Синод письмо с просьбой отлучить его от церкви – отлучили же графа Льва Толстого, а «я придерживаюсь тех же взглядов, что и Лев Толстой, отлучайте меня». Это был, конечно же, большой скандал. Академик Марков, член Императорской Академии.

Марков особенно знаменит своим главным открытием, так называемыми, цепями Маркова. Марков взял роман «Евгений Онегин», и заинтересовался таким вопросом. Все хорошо знают, что в русском языке гласные в целом чередуются с согласными, хотя возможны комбинации нескольких гласных и нескольких согласных.

Марков заинтересовался таким вопросом: с какой частотой идет гласная после согласной? И с какой частотой согласная после гласных? Он нашел такие величины: гласная после согласной в романе «Евгений Онегин» идет с вероятностью 0,663. Гласная после гласной – всего-навсего 0,128. Эти вероятности не должны складываться к единице, напротив, они позволяют найти вероятность согласной после согласной, гласной после гласной. Такие он нашел вероятности, и этим нашел новую страницу в литературоведении, такой статистический анализ текста. Потом этим будет заниматься Колмогоров, но не символами «Евгения Онегина», а ритмами стиха, и даст удивительные результаты в этой области.

Главное, что Марков, отталкиваясь от этого примера, открыл свои собственные цепи Маркова. Давайте представим себе два события, гласные и согласные. Разумеется, нельзя сравнить появление гласной или согласной с бросанием монетки, потому что, как видно здесь, гласная после согласной появляется гораздо вероятнее, чем после гласной. Две гласные это не так часто бывает в русском языке, как сочетание согласной и гласной.

Наоборот, представим себе, говорит Марков, что все прошлое слово «мой дядя», когда в этом слове «дядя» комбинация «д»-«я» появления вот этой гласной «я», оно зависит от предыдущего «д», а больше ни от чего прошлого не зависит. Иначе говоря, будущее зависит от настоящего, но если зафиксировать настоящее, то будущее и прошлое независимы. Будущее независимо от прошлого, если зафиксировано настоящее.

Будущий символ гласной и согласной зависит от того, какой символ этой гласной или согласной, но не зависит от предыдущего текста. Это, конечно, упрощение, разумеется, на самом деле, зависит, но упрощение, которое оказалось чрезвычайно плодотворным, и цепи Маркова один из таких абсолютно фундаментальных объектов в современной математике, важные для вычисления цен на бирже, котировок; давшее математическое объяснение броуновского движения. Здесь очень важную роль сыграл французский математик Башелье, чьи работы при его жизни не получили должного признания. Такие вот замечательные ученики  Чебышева – академик Ляпунов и, особенно, А.А.Марков.

Мы вплотную подходим к аксиоматизации теории вероятностей. Обратите внимание, уже накоплен огромный пласт результатов по теории вероятностей. По ней пишутся всевозможные учебники. Вот замечательный учебник Пуанкаре по теории вероятностей, использовавшийся во французских учебных заведениях довольно долго. Но при этом сами теоремы формулируются как теоремы из анализа, а понятия случайных величин остаются полностью за кадром.

Я приведу здесь один пример, недостаточно широко известный даже для математиков. Мы тут скакнем на тридцать лет вперед, прежде чем потом сделать обратный прыжок. И обратимся на секунду к Алану Тьюрингу, замечательному английскому математику со страшной судьбой. Алан Тьюринг начинал в теории вероятностей. Давайте быстро посмотрим на работы, а потом вернемся к Тьюрингу. Я следую тут работе «Алан Тьюринг и центральная предельная теорема» Забелла. 

Тьюринг передоказал центральную предельную теорему. Это был фактически его диплом, если перевести на русский язык. Он не знал о работе Линдеберга, но передоказал именно в такой форме, и в действительности, работа никогда не была опубликована, что там в точности произошло не совсем ясно, но признания эта работа не получила. Хотя он смог остаться, получить fellowship, и защищал его Джон Мейнард Кейнс. Так или иначе, когда Тьюринг в 1934-м году написал свою работу по теории вероятностей, работа Колмогорова уже была, но она еще не была усвоена.

И вот видно, что Тьюринг  свою теорему формулирует как теорему из анализа, оставляя вероятностную терминологию полностью в стороне. А потом полностью уходит из теории вероятностей. Тут нам, с одной стороны, интересно, что Тьюринг начинал в теории вероятностей, прежде чем переключиться на логику, а с другой стороны это характерный пример, что в Кембридже 1930-х годов, а на самом деле гораздо позже, теория вероятностей – это была не математика. Джентльмен может заниматься теорией чисел, а теорией вероятностей нет. Вот что показывает нам случай Тьюринга.

Мы приходим к попыткам аксиоматизации теории вероятностей. И тут, прежде чем переходить к их описанию, я хочу привести пример из книги Эмиля Бореля «Случай», которым я хочу проиллюстрировать следующий тезис, что границы применения теории вероятностей, что на этот счет раньше высказывали суждения, которые сегодня мы можем воспринимать только с некоторым юмором.

Борель пишет: «Самое возвышенное правило морали, когда-либо предлагавшееся людям, казалось бы, заключается в евангельской заповеди «Люби ближнего как самого себя». Наиболее практической иллюстрацией этого может служить жизнеописание св. Мартина, делящего свой плащ. Если позволительно применять к такому предмету научную критику, рискуя услышать обвинения в чрезмерной сухости сердца, то мы вынуждены признать, что если ближние это все люди, то буквальное исполнение евангельских заповедей приводит к нелепым выводам. Сам св. Мартин не мог бы разделить свой плащ на тысячу кусков, если бы встретил тысячу несчастных.

Таким образом, единственное разумное толкование, которое можно дать евангельскому изречению такое: рассматривай каждого своего ближнего как величину, эквивалентную, во всяком случае, не тебе самому, а какой-нибудь части тебя, заключающейся между нулем и единицей. Не думаю, что такую формулировку можно было назвать эгоистической.

Различные степени проявления альтруизма и эгоизма определяются при определении коэффициентов. Скольким лицам каждый из нас припишет коэффициент «1», скольким коэффициент «0,9», скольким «0,5»? Я не стану входить в компетенцию этих величин, которые входят в компетенцию практической морали. Пусть меня поправят, в математике морали нет на сегодняшний день. Приписывать вероятностные коэффициенты, любить ближнего с вероятностью «0,75», это не входит в современную теорию вероятностей.

А говорю я это совсем не для того, чтобы посмеяться над Борелем. Борель оказал несомненное влияние, в т.ч., и на Колмогорова. А просто, чтобы показать две вещи: это все было очень трудно, понять, как поставить теорию вероятностей на твердые математические начала, с другой стороны, показать субъективный характер вероятности. Вероятность это то, что существует в природе вещей, или это все же то, что существует в нашем уме? И мы увидим этот конфликт в самих попытках аксиоматизации.

Первая попытка аксиоматизации принадлежит Сергею Натановичу Бернштейну, замечательному русскому математикую. Он дает 3 аксиомы: аксиому сравнения, аксиому совместимости, аксиому совмещения. И потом из этих аксиом выводится само понятие вероятности. Прошу обратить внимание, понятие вероятности является вторичным. Вспомним, из курса геометрии, что точки, прямые, треугольник или угол, градусная мера угла это понятие уже вторичное, оно выводится из аксиом. И вот для Бернштейна понятие вероятности вторичное. Бернштейн его выводит. Это очень интересная попытка, 1917-й год, первая в мире, но не имевшая продолжения. Аксиоматика есть, но проку от нее нет.

Очень интересна попытка Рихарда фон Мизеса. Он интересуется таким вопросом, тоже очень важным. С теорией вероятности связан такой парадокс. Когда мы говорим, что вероятность выпадения монетки ½, что это значит? Что если мы долго будем играть в орлянку, то орлов и решеток будет примерно поровну.

Что это значит? Ведь может так случиться, что мы играем в орлянку, 10 раз бросили, и выпали одни орлы, это же возможные события, маловероятное, но возможное. Или играли 100 раз, и орлов оказалось 60%, это крайне маловероятное событие, но, тем не менее, возможное. Как это нужно понимать?

Классическое понимание такое. Одна игра в орлянку вероятность ½. Это значит, что если 100 раз сыграть в орлянку, то, скорее всего, орлов будет примерно половина. Это значит, что если взять 100 ансамблей по 100 игр в орлянку, то среди них тех, где орлов будет гораздо больше половины, будет очень мало. Что это значит, в свою очередь?  Это такой парадокс, само понятие вероятности само в себе заключает противоречие. И фон Мизес, пытаясь разрешить это противоречие, пытается разъяснить, что такое одна случайная последовательность.

Он пытается определить, в первую очередь, что такое индивидуальная случайная последовательность. Ну, ясно, например, что орлов и решеток должно быть примерно поровну. Ну, например, возьмем последовательность 0,1,0,1,0,1,0,1, ... По четным дням всегда выпадает орел, по нечетным – всегда решетка. Ясно, что эту последовательность нельзя считать случайной.

Тогда Мизес говорит про подпоследовательности: «Хорошо, если мы играем в орлянку, то не может быть, чтобы, скажем, по понедельникам, выигрывали только вы, а по средам только я. Это не совместимо с правилом случая. По понедельникам тоже должна быть случайная последовательность».

Но тогда можно сказать, давайте возьмем подпоследовательность по тем дням, когда выигрываю только я. Получится последовательность из одних единиц, опять парадокс. Фон Мизес не дает разрешение этого парадокса.

Его рассмотрение чрезвычайно важное для истории науки, очень интересное. Шестая проблема Гильберта и состоит в том, чтобы дать аксиоматику теории вероятностей и статистической механики. Фон Мизеса интересовали более практические вопросы, что такое случайная последовательность. Аксиоматику фон Мизес не построил.

Чрезвычайно интересная попытка аксиоматизации теории вероятностей была предпринята Бруно де Финетти, замечательным итальянским математиком, потом взаимодействовавшим с Колмогоровым. Он предлагает определить вероятность как сумму, которую вы готовы заплатить в случае такого-то исхода. Вы знаете, как там проходила какая-то игра, какую сумму вы готовы заплатить, или наоборот, какую сумму проиграть. Какое пари вы готовы заключить? С чем связана такая попытка аксиоматизации?

Очень просто – конечно, с петербургским парадоксом. Что это такое? Представьте себе, вы идете на лекцию «Полит.ру» по улице Сретенка, там стоит павильон, в павильоне предлагается играть в такую игру: бросается монетка. Если выпадает орел, вам платят рубль. Монетка бросается еще раз. Если выпадает 2 орла, вам платят 2 рубля. Если 3 орла, 4 рубля. Если 4 орла, 8 рублей. Если 8, то 16 и т.д. Если 10 орлов, то 1000 рублей. Если 20 орлов, то миллион рублей. Сколько вы готовы заплатить за вход в такой павильон?

Тут парадокс связан с тем, что автоматическое ожидание вашего выигрыша бесконечно. Вы в принципе можете выиграть сумму, сколь угодно большую. Может быть, 100 раз выпадет монетка орлом, и вам миллиард дадут, какую-то баснословную сумму, столько денег, сколько в банке нет. А сколько вы готовы заплатить? Если так подумать про себя, то 10000 рублей не захочется платить. Хотя, казалось бы, есть шанс выиграть миллиарды, но шанс настолько ничтожный, что крупную сумму за это не хочется платить.

Можно иначе: или я вам сразу даю миллион, или я с вами играю в орлянку. При этом если выпадает орел, я  вам ничего не даю. А если выпадает решетка, я вам даю три миллиона. Что вы предпочтете, получить верный миллион или сыграть в орлянку на три миллиона?

Достаточно ясно, во всяком случае, в некоторых случаях, синица в руках дороже, чем журавль в небе, и вот эти вычисления среднего совершенно не отвечают психологической реальности. Это, кстати, и в экономической теории хорошо известное явление, что потребитель не любит идти на риск, даже с большими дивидендами в случае выигрыша. Об этом писал еще петербургский академик Даниэль Бернулли. Де Финетти и пытается построить эту субъективную теорию.

Джон Мейнард Кейнс тоже пытался определить вероятность как меру правдоподобия. Субъективная трактовка вероятности. Это замечательная работа, она привела к появлению замечательных результатов. Сама теорема де Финетти о перестановочных событиях отсюда и возникает, как бы идея в том, что вы совершаете решения только на основе частот предыдущих событий, а не на основе порядка предыдущих событий.

И отсюда и возникает теорема де Финетти о перестановочных событиях. То есть де Финетти создал прекрасную теорию вероятностей, но аксиоматики на этом пути совершенно не получается.  И постфактум можно сказать, почему ничего у них не получалось, потому что они пытались дать определение теории вероятностей. И Бернштейна и де Финетти интересовал вопрос не сколько математического, сколько философского характера, что такое вероятность.

Мы обращаемся  к главному герою нашей лекции, Андрею Николаевичу Колмогорову. Вот его фотография времен, когда он уже написал несколько блестящих вероятностных работ и, наверное, уже думал и над аксиоматическим основанием теории вероятностей.

Колмогоров - автор фундаментального труда, изданного по-немецки - «Основные понятия теории вероятностей». И Колмогоров дает правильную аксиоматику теории вероятностей. Не вдаваясь в математические детали, скажу, что она основана на теории меры Лебега, теории интеграла. Потому что именно Лебег дал удовлетворительное объяснение того, что такое интеграл. Колмогоров и говорит, что вероятность – это есть мера.

Давайте посмотрим коротко на аксиомы Колмогорова, хотя это не так и важно.

Важно нам здесь то, что вероятность для Колмогорова является совершенно неопределяемым понятием. Это написано в любом учебнике, тут никакого секрета нет. Колмогоров говорит, пусть есть вероятность, тогда там есть такие-то свойства. И, в сущности, Колмогоров увязывает теорию вероятностей с теорией меры и интеграла Лебега.

Колмогоров в предисловии к своей работе пишет: «после исследования Лебега стала ясна аналогия между мерой множества и вероятностью события. Эта аналогия допускает и дальнейшее продолжение. Попытки построения основ теории вероятностей, исходящей из этой общей точки зрения, уже имеются, и весь круг идей, излагаемых здесь, уже успел приобрести известную популярность в узком кругу специалистов». – В частности, Борель находился под влиянием таких идей. – «Однако отсутствовало полное и свободное от излишних усложнений изложение всей системы».

Опять-таки эта идея, вот Майстров приводит польское исследование, кажется, Ломоницкого, если я не ошибся с фамилией, который тоже предлагал подобную идею. Идея, что это правильный путь, уже была. Но именно заслугу Колмогорова можно сравнить с открытиями Лобачевского.

Идеи, связанные с неевклидовой геометрией, все были до Лобачевского. Но именно Лобачевский твердо встал на эту точку: вот она - новая геометрия. И, соответственно, именно Колмогоров ввел теорию вероятностей в математику. Теория вероятностей – это ветвь математики. Вот что такое случайная величина. Вот что такое мера. В этом смысле гигантское психологическое значение для нашего понимания науки и места теории вероятностей в математике, в естествознании играет аксиоматика Колмогорова.

Аксиоматика Колмогорова, надо сказать, подвергалась критике, вот почему: Колмогоров рассматривает теорию вероятностей как теорию меры, а теория меры – на пространстве всевозможных событий. То есть вот, например, всевозможных последовательностей русских символов. Это пространство содержит все романы, в том числе ненаписанные. Завтра Пелевин напишет роман, а он уже в этом пространстве есть. Такое пространство – совершенно идеалистично.

То есть, например, функция распределения случайной величины – это то, что вычисляется прибором, что видит инженер или астроном, который проводит измерения. А вот пространство вероятностных событий – это платоновский идеальный объект, это что-то, чего инженер совершенно не видит. Так критиковали Колмогорова. Критиковать можно, но альтернативы никакой нет и по сей день.

Напротив того, колмогоровская аксиоматика есть, и именно она дала такой мощнейший толчок развитию теории вероятностей, ввела теорию вероятностей в математику. Дала толчок чрезвычайно бурному развитию теории вероятностей во всей первой половине XX столетия вплоть, скажем, до 1960-70-х годов.

С чисто математической точки зрения, значение работ Колмогорова состоит в том, что он, в частности, дал основы для объяснения случайностей непрерывных, например, броуновского движения. Случайности в бесконечном числе измерений, случайной траектории.

Вы бросили монетку, и это понятно. А что значит случайная траектория? Траектория молекулы воздуха в этой комнате. Ведь она может идти в любом направлении, тут бесконечное множество выборов, как вот это объяснить. То есть молекула в каждый момент времени бросает новую монетку, и пускается в новом направлении.

И вот строгую теорию процесса бесконечных вероятностных пространств как раз и построил Колмогоров в своей фундаментальной работе. И в этом ее математическое значение. Потому что еще раз подчеркну, что идеи, связанные с теорией меры, они уже были, а это построение теории бесконечных вероятностных пространств – это то, чем сейчас открывается курс случайных процессов, и эта теорема сформулирована и доказана в этой работе.

В заключение скажу о том, что Колмогоров возвращался к построению теории вероятностей за свою жизнь. И если эта книга - это шедевр молодого Колмогорова, то ответ на этот вопрос, это, может быть, последний математический шедевр Колмогорова, это его определение, которое называется колмогоровская сложность. О ней, кажется, уже были лекции «Полит.ру». Мне кажется, у вас была лекция Александра Ханиевича Шеня, а если не было, то очень стоит, чтоб была (Ред. – идея была быстро реализована, лекция Шеня состоялась 6 марта 2014 года).

А я скажу совсем кратко, что идея Колмогорова состоит вот в чем: почему эта последовательность случайна, а эта не случайна? Потому что эту последовательность можно очень коротко описать, последовательность из одних нулей. Это очень короткое описание. Причем заметьте, если бы это было семь нулей, сто двадцать семь нулей – все равно это последовательность из одних нулей. Это очень короткое описание.

Для описания этой последовательности уже понадобится очень много сил: на втором и третьих местах единицы, и на пятом месте единица. Вам надо написать компьютерную программу, которая выдает эту последовательность. Для этой последовательности можно дать очень короткую последовательную программу, а для этой понадобится компьютерная программа довольно длинная.

Вы можете сказать, что компьютерная программа зависит от языка программирования; если писать на одном одно, на другом будет другое. Но на самом деле, на любом языке программирования можно запрограммировать любой другой, то это все при рассмотрении достаточно длинных последовательностей, не имеет никакого значения. Это называется колмогоровская сложность.

Он дает объяснение того, почему это случайное, а это нет, почему оно именно такое. Потому что эта последовательность задается простой закономерностью. А эта последовательность такой простой закономерности не допускает. И вот именно мера сложности закономерности, которая дает последовательность, это абсолютная четкая математическая закономерность. Длина компьютерной программы или математическая длина алгоритма, выдающая нам последовательность, называется колмогоровской сложностью. Последние годы работы Колмогорова по теории сложности связаны с работами его молодости по аксиоматике теории вероятностей. Большое спасибо.

Дискуссия

Борис Долгин: Спасибо большое, Александр. Я бы начал с вопроса о том, что же все-таки такое полином? А дальше уже приступим к другим вопросам.

Александр Буфетов: Хорошо. Полином – это функция от одной до нескольких переменных, в нашем примере одной, которая получается выполнением операции сложения и умножения.

Борис Долгин: Теперь несколько вопросов о вас. Насколько то, о чем вы сегодня рассказывали, близко к роду ваших занятий? В чем здесь ваш интерес? Как вы соотноситесь с теорией вероятностей? Как вы пришли в математику?

Александр Буфетов: Ну, это несколько разных вопросов. В математику я пришел, придя в Независимый Университет, как я думаю, и все математики, присутствующие в этой комнате.

Борис Долгин: Но в Независимый Университет приходят также не с нуля, это совершенно неочевидное место, куда приходят. Наверное, вы пришли с интересом к математике в этот Университет?

Александр Буфетов: Да, в этом смысле, я – продукт советской системы, советского миросозерцания моих родителей, состоявшего в том, что математические школы самые лучшие в городе, и вот меня за руку взяли и отвели во 2-ую математическую школу. С этого все и началось.

Собственно, Независимый Университет тогда и занимался во 2-ой школе, так что мне даже не надо было выходить из здания, чтобы пойти на занятия. Я занимаюсь эргодической теорией динамических систем, и это область близкая к теории вероятностей. Как я уже говорил в интервью Наталии Деминой, Джозеф Дуб (Doob Joseph Leo) начал свое выступление со слов «математика – это часть теории вероятностей». Во всей математике используется теория вероятностей, и то, что она используется в эргодической теории динамических систем, кстати, это понял еще Пуанкаре. И, конечно, я постоянно цитирую работы Колмогорова.

Борис Долгин: Спасибо. И последнее, дальше уже дам возможность задавать вопросы коллегам. Что бы вы посоветовали почитать по теории вероятностей?

Александр Буфетов: Вы имеете ввиду с математической или с исторической точки зрения?

Борис Долгин: Представьте себе человека, который имеет некоторый интерес к математике, но не является математиком, и даже не является физиком. И элементы истории, и введение в историю теории вероятностей, все, что угодно.

Александр Буфетов: Этот вопрос ставит меня в тупик. По истории есть замечательная книжка Феллера, но всё же она написана для студента-математика, и даже если не для него, то для студента математика, физика или биолога. Сами книги Майстрова мне очень понравились, я взял их для подготовки этой лекции, но они связаны, первая – с историей теории вероятностей, а вторая – с философскими проблемами. И таких книг очень много, есть кембриджская книга фон Плато.

Вообще, философия теории вероятностей, философские вопросы, с которых я начал, сегодня не могут быть решены, поэтому они обсуждаются по сей день, и таких книг много. Но вы, кажется, спросили не об этом. А если говорить о каком-то изложении теории вероятностей, скажем, как физика Ландберга, то я, пожалуй, затрудняюсь с ответом, может быть, по незнанию моему.

Борис Долгин: Да, если кто-то может помочь, пожалуйста.

Владимир Потапов: Я бы рекомендовал книгу братьев Ягломов «Вероятность и информация».

Александр Буфетов: Да, это очень правильно. Я когда-то очень давно держал в руках эту книгу и недолго, ее довольно трудно было достать во время моего детства. Я думаю, что это очень правильно.

Константин Иванович: Спасибо за лекцию. У меня вопрос такой: В свое время Лобачевского признали в России и не посадили в сумасшедший дом, только потому, что его признал Гаусс.

Александр Буфетов: Про сумасшедший дом, мне кажется, это все-таки преувеличение.

Константин Иванович: А почему Колмогорову пришлось писать свою работу на немецком языке, публиковать в немецком журнале?

Александр Буфетов: Нет, в немецком издательстве.

Константин Иванович: И кто из немцев признал, потому что среди наших специалистов таких, наверное, было мало.

Александр Буфетов: Во-первых, давайте начнем с Лобачевского. Лобачевский – трагическая фигура в истории науки. Он, несмотря на многие свои годы ректорства, так и не смог составить состояние, после его смерти его вдова оказалась в очень стесненных обстоятельствах, есть письма на этот счет. Его дети плохо кончили. Лобачевский подвергался страшной травле академиком Остроградским. Тот вписал себя в историю науки как такой Герострат.

Зритель: У Колмогорова тоже трагедия.

Александр Буфетов: Давайте по порядку, я об этом тоже скажу. Но все-таки сумасшедший дом – это риторическое преувеличение, мне кажется, так вопрос никогда не стоял. И поддержка Гауссом работ Лобачевского высказывалась, если я не ошибаюсь, только частным образом, а не официально, и поэтому Лобачевскому никакого прока от этого не было.

Что до публикации работ Колмогорова по-немецки, то я думаю, что таким образом можно было достичь большего охвата. Все-таки языки математики в 30-е годы – это немецкий и французский, и все же еще не совсем английский, и уж во всяком случае, не русский. Это  потом, тут я имею личный опыт, американские логики и американские вероятностники с большой вероятностью говорят по-русски. Я знаю несколько специалистов, которые говорят по-русски очень хорошо, и вот причину мы видим на доске. Но это было потом.

Первая публикация была по-немецки – возможно, чтобы застолбить приоритет, по каким-то совершенно практическим соображениям. Тут я могу рассказать две истории, поэтому спасибо большое за ваш вопрос. Колмогоров пошел очень не туда в 40-м году, когда подверг критике академика Лысенко. Это потрясающая история, которая описана и переописана, но я напомню.

Давайте обратимся к работе Лысенко. Аспирантка академика Лысенко написала опровержение законов Менделя из теории вероятностей. Дело в том, что законы Менделя предсказывают соотношение три к одному, аспирантка провела исследование, и получилось не три к одному, а некоторые другие числа. И академик Колмогоров написал письмо в «Доклады Академии наук», в которых указал, что работа аспирантки, кажется, Ермолаевой, подтверждает законы Менделя, потому что в любых измерениях есть ошибка, и ошибка, получающаяся у аспирантки, прекрасно ложится в законы Менделя. И вообще эта работа является подтверждением, а не опровержением.

За что он получил вот такой подарок, что «работы Колмогорова никакого отношения к биологической науке не имеют. Нас, биологов, не интересуют математические выкладки» и т.д. Опять-таки, я не жил в 1940-м году, но учитывая высокое положение академика Лысенко и общий характер научной полемики в сталинском СССР, принято говорить, что всё это пахло ГУЛАГом. Что вот это был уже почти билет в ГУЛАГ. Если Вавилов кончил в ГУЛАГе, то чем Колмогоров лучше? Но Колмогоров в ГУЛАГ не попал.

Как известно, в нашей истории никогда не знаешь, что произойдет завтра, и я не уверен, что эта тема исчерпывающе разобрана. Я слышал от Шеня, но не знаю, где здесь грань между анекдотами из кухни 60-х и правдой. Я слышал, что критиковали теорию вероятностей, потому что она противоречит теории марксизма. С одной стороны, наука – враг случайного, с другой стороны – теория вероятностей говорит о независимых событиях, а как вы понимаете, в природе все взаимосвязано, учат нас Маркс и Энгельс, и соответственно теория вероятностей– это лжеучение как кибернетика, генетика и т.д.

Будто бы удалось отбить эту атаку Александру Яковлевичу Хинчину, может быть, и самому Колмогорову. Еще раз говорю, не знаю, насколько достоверны эти свидетельства. Удалось ответить на атаку, ответив вопросом на вопрос «Считают ли, что если после того, как помолились о дожде, идет дождь, – это события независимые или взаимосвязанные?» И будто бы так атаку на теорию вероятностей удалось отбить. Во всяком случае, Колмогоров тут как-то вышел сухим из воды, в ГУЛАГ не попал, и атаку удалось отбить.

Что не спасло Колмогорова от мученического венца. Колмогорова, конечно, травили, и по-видимому, затравили, но совсем в другом контексте. Колмогоров был, как известно, очень здоровый человек. Хорошо известно, что он в очень преклонном возрасте обратился за консультациями к высокопоставленному советскому врачу, академику. Тот спрашивает его, на что вы жалуетесь, и вот пожилой, скажем, 70-летний Колмогоров говорит: «Вы знаете, я в последнее время чувствую себя неуверенно, когда плаваю на спине». А вот в 1978-м году, когда он достигает 75-летнего возраста, его здоровье начинает стремительно ухудшаться, очень быстро. И последние годы Колмогорова были очень мучительны, и он очень тяжело болел. И конечно это связано с той травлей, которой он был подвергнут академиком Понтрягиным.

По поводу его школьных учебников, и особенно, в сегодняшнем контексте, переоценка теории Колмогорова, об этом обязательно нужно говорить, и нужно найти правильное место реформе Колмогорова в истории русского образования. Я очень хорошо помню, что как-то я под влиянием Владимира Игоревича Арнольда, не скрывавшего своего чрезвычайно критического отношения к реформе образования Колмогорова, спросил Николая Николаевича Константинова: «Как вы думаете, почему реформа Колмогорова оказалась неудачной?» И Константинов резко спросил: «А почему вы считаете, что она была неудачной?» И стал объяснять мне, что реформа Колмогорова был чрезвычайно удачной, что он много сделал для средней школы, что он, например, ввел в программу начала математического анализа.

Можно говорить до полуночи о реформе Колмогорова, это сюжет, еще не закрытый и вызывающий сильные эмоции. Материалы, кстати, можно найти на сайте Независимого Университета. Была статья Понтрягина в журнал «Коммунист», была травля Колмогорова, и было голосование на Отделении математических наук, куда входили и ученики Андрея Николаевича. Оно проголосовало за то, чтобы официально осудить реформу Колмогорова. Кто-то один воздержался.  Может быть, это был сам Колмогоров, подробности неизвестны. А может, Колмогоров в голосовании не участвовал, и воздержался кто-то другой.

Факт в том, что после 1978-го года, после такого публичного унижения, публичной травли в прессе, инициированной академиком Понтрягиным и поддержанной учениками Андрея Николаевича, здоровье Колмогорова стремительно деградирует, и  последние годы жизни Колмогорова чрезвычайно мучительны.

Константин Иванович: Колмогоров написал на доске какую-то последовательность цифр 15926535 8979323846 … и спросил аудиторию: «Что это за цифры?» Никто не мог сказать. Оказалось, что это число Пи без первых цифр.

Александр Буфетов: Это очень интересная история, я никогда не слышал! Это очень похоже на Колмогорова. Вам надо обязательно ее записать и положить в Интернет.

Зритель: Колмогоров поставил точку на аксиоматике? После него уже никаких аксиоматик не предвидится?

Борис Долгин: А что бывает вообще в науке, когда точка поставлена?

Александр Буфетов: С аксиоматикой да, бывает.

Борис Долгин: Разве не может быть создана другая аксиоматика? Это научный подход?

Александр Буфетов: Во всяком случае, сейчас аксиоматика Колмогорова совершенно стандартна, и даже если вы откроете учебник по финансовой математике…

Борис Долгин: Я не говорю о ее недостатках возможных. Я говорю о том, что любая аксиоматика предполагает возможность другой аксиоматики.

Александр Буфетов: Это выводит нас в плоскость методологической дискуссии, в которой я не чувствую себя на высоте уважаемого оппонента. Аксиоматика Колмогорова свои задачи полностью выполняет, и даже в серьезном учебнике по финансовой математике, вы увидите на первой странице аксиоматику Колмогорова. Действительно, была критика аксиоматики Колмогорова, но альтернативы, которые реально бы использовались, мне неизвестны.

Борис Долгин: То есть на настоящий момент, это, в общем-то, последнее слово науки.

Александр Буфетов: Последнее слово – это не совсем правильная фраза. Это такая же последняя вещь, как аксиоматика геометрии Гильберта. Аксиомы Колмогорова теории вероятностей – такая же стандартная вещь, как аксиома натуральных чисел Пеано. Мне очень трудно себе представить, чтобы аксиоматика натуральных чисел Пеано подверглась пересмотру. И точно также мне очень трудно себе представить, чтобы подверглась пересмотру аксиоматика Колмогорова.

Кстати Колмогоров занимался, например, турбулентностью, и очень подробно обрабатывал данные эксперимента, что привело к появлению Колмогоровской теории турбулентности. А чуть ли не первой любовью Колмогорова была биология. В школе он больше всего любил биологию. Я знал про его биологические работы, связанные с предельными циклами, с системой Лотка-Вольтерра «хищник-жертва», на которой Колмогоров построил некоторую общую теорию. Жизнь слишком коротка для того, чтобы изучить все работы Колмогорова.

Эргодическая теория – это область, в которую фундаментальный вклад внес Колмогоров, связанная с обоснованием теории Больцано в статистической механике. Получена конкатенацией двух греческих слов – «эргос» и «одос», работа и путь. То есть эргодическая теория – это как бы путь энергии. Эргодическая теория – это изучение систем, возникших из статистической физики.

Алексей Барабанов: Вопрос связан с квантовой механикой. Я занимаюсь ею, слушаю вас, и как-то в учебниках сплошная вероятность. Я не замечал, чтобы кто-то вот так специально интересовался вопросами вероятности. Есть ли какие-то люди, которые занимаются квантовой механикой и теорией вероятностей?

Александр Буфетов: Конечно, такие исследования ведутся, я очень далек от этого, но, в конце концов, и знаменитый интеграл Фейнмана – на него можно смотреть, как на попытку написать интеграл, аналогичный тому интегралу, который пишется для броуновского движения. Кажется, на этом пути нет строгой математической теории, но я не специалист. Математическими аспектами квантовой механики занимаются очень многие математики, но не я.

Александр Печень: Есть такая область науки – квантовая вероятность, получена неким обобщением колмогоровской теории вероятностей.

Наталия Демина: Это было уточнение от лауреата премии Правительства Москвы молодым ученым Александра Печеня из Стекловки. Сегодня была церемония награждения этой премией

Александр Буфетов: Давайте его поздравим! (аплодисменты).

Борис Долгин: Такой вопрос. Вы, говоря об истории развития теории вероятностей, говорили о стадии, когда она не воспринималась как математика. А воспринималась как что? Как наука?

Александр Буфетов: На этот счет были споры. Именно это я и пытался передать, что как такая сомнительная наука.

Борис Долгин: Нечто на грани науки?

Александр Буфетов: Нет, понимаете, от теории вероятностей нельзя отмахнуться. Понимаете, невозможно в одной лекции рассказать обо всей истории теории вероятностей, и тут не ставил я себе такой задачи. Я сконцентрировался на вопросах формального обоснования.

Но еще Галилей интересовался вопросом, вы проводите астрономические измерения (их проводили чрезвычайно точно во времена Галилея), но естественно, какие-то ошибки есть. Вот нанесены результаты десяти измерений, как найти правильно среднее значение? Гаусс этой задачей занимался. То, что теория вероятности дает правильные ответы на нужные вопросы, в этом ни у кого сомнений нет. Прикладное значение теории вероятностей никогда не подвергалось сомнению (страхование, азартные игры), это с древнейших времен. А вот наука это или нет, и какова роль субъективного (была же попытка де Финетти), здесь мы уходим в область философии науки, это совсем уже другое. Я не знаю, ясно ли я  ответил.

Борис Долгин: Вполне ясно. По крайней мере, во многих случаях, из лекции, в которой нам рассказывали по поводу некоторых лекарств: эффект их до какого-то момента понятен, но механизм их обоснования не был научен,  но факт использования. Видимо, это довольно близкая аналогия.

Виктор Табаков (НИУ-ВШЭ): У вас в лекции связаны такие, на первый взгляд, никак не связанные вещи, как математический анализ, который занимается функциями, и теория вероятностей. Можете объяснить почему?

Александр Буфетов: Да, конечно могу. Это как раз очень легко сделать, потому что вместо случайной величины рассматривается ее распределение. Это функция на прямой. Например, независимым случайным величинам отвечает произведение плотностей или свертка функций распределения. Тут неважно знать, что такое свертка, это некое понятие из математического анализа, оно есть в учебниках математического анализа, тут не нужно знать вероятность. И можно сформулировать теорему о свертках функций, и где-то в уме понимать на самом деле, что речь идет о независимых случайных величинах. Тьюринг так и делает. 

Англичане так плохо поступили с Тьюрингом при жизни, что стараются всеми силами загладить это после его смерти, и в электронный архив Тьюрингавыложена эта работа, вы можете посмотреть сами. Тьюринг доказывает теоремы про свертку функций.

Сам Тьюринг заинтересовался этими вопросами, потому что он слушал в Кембридже лекции по астрономии, где естественно обсуждалась статистика ошибок измерений, это фундаментальный вопрос в астрономии, как распределены ошибки в измерениях. И он захотел это обосновать, доказать. Но все это переформулируется в терминах теории функций. Я понятно сказал?

Борис Долгин: Да. Спасибо большое за лекцию! (Аплодисменты)

Проект «Публичные лекции "Полит.ру"» начал работу 25 марта 2004 года. Это площадка содержательной коммуникации по проблемам, находящимся на переднем крае науки, культуры и общественной дискуссии. Особое внимание уделяется истории, современности и будущему России и мира. Проект закладывает основания для формирования гражданской позиции.

10 апреля 2014 г. (четверг) 

В рамках проекта «Публичные лекции "Полит.ру"» пройдет ставшее уже традиционным празднование Дня рождения газеты ученых и научных журналистов "Троицкий вариант - Наука".

Аннотация: Первый номер обновленной газеты вышел 1 апреля 2008 года. За 6 лет вышло уже более 150 номеров. На празднике выступят физик, один из создателей Диссернета Андрей Ростовцев по теме "Новости сообщества Диссернет", лингвист Ирина Левонтина по теме "Я и Другой (о маркерах чужой речи)" и математик-прикладник Павел Чеботарев по теме "Возможен ли «СНЕЖНЫЙ КОМ»мунизм?Анализ одной модели демократии". Подробности см. на этой странице.

* * *

17 апреля 2014 г. (четверг) 

Иван Иванович Курилла – доктор исторических наук, профессор, заведующий кафедрой международных отношений и зарубежного регионоведения Волгоградского государственного университета. Член Совета Вольного исторического общества.

Тема лекции: «Быть историком в современной России: вызовы общества и ответы ученых».

Аннотация: Перед исторической профессией в современной России встали несколько серьезных проблем. Расширяется область политического использования истории; обсуждаются законодательные ограничения на трактовку исторического прошлого. Исторические нарративы разных общественных групп, регионов и соседних стран зачастую носят взаимоисключающий характер и несут в себе зерна опасных конфликтов. Подробности см. на этой странице.

* * *

24 апреля 2014 г. (четверг) 

Дмитрий Сергеевич Горбунов –  физик-теоретик, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Отдела теоретической физики Института ядерных исследований РАН. Эксперт в области физики элементарных частиц и фундаментальных проблем эволюции Вселенной. Лауреат премии Президента Российской Федерации 2010 года в области науки и инноваций для молодых ученых.

Тема лекции: «Поляризация реликтового излучения, гравитационные волны и что было до того, как наша Вселенная стала горячей».

Аннотация: Астрономические наблюдения говорят нам, что на больших пространственных масштабах Вселенная однородна и изотропна, а на малых нет: есть галактики и скопления галактик, а есть области обеднённые материей. Вселенная  –пространственно плоская, а в прошлом была заполнена горячим газом элементарных частиц. В рамках стандартной гравитации всё это можно понять, лишь предположив крайне экзотические условия, заложенные в самом начале развития горячей Вселенной.  Подробности см. на этой странице.

Лекции проводятся при поддержке Фонда "Династия", газеты "ТрВ-Наука" и Комитета гражданских инициатив.

* * *

Алфавитный список лекторов Публичных лекций

Подписаться на нашу рассылку можно здесь: lecturespolitru@gmail.com

Лекции 10, 17 и 24 апреля 2014 г. пройдут в кафе ZaVtra (бывшие "ПирО.Г.И. на Сретенке"). Начало лекций в 19-00. Адрес: Москва, ул. Сретенка 26/1 (м. "Сухаревская", при выходе из метро направо, по ступенькам вверх, опять направо, вдоль ул. Сретенка пешком 5-6 минут). Вход бесплатный. Телефон для справок: +7 495 624-8009.

Накануне лекции 6 февраля 2014 годаАлександра Буфетова, докт. физ.-мат. наук, ведущего научного сотрудника Математического института РАН, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН имени Харкевича, профессора факультета математики НИУ-ВШЭ, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS), мы поговорили с лектором о теме его выступления. Беседовала Наталия Демина. 

Чем тема вашей будущей лекции «Математика случая. История теории вероятностей» кажется важной? Почему вы ее выбрали? 

Дело в том, что в отличие от многих других математических дисциплин становление теории вероятностей именно как области чистой математики, во-первых, заняло очень много времени. Происходило очень долго. Сама история становления теории вероятности очень драматична. Перед исследователями, помимо серьезных математических проблем, стояли и серьезные мировоззренческие проблемы, связанные с философией науки. С тем, чтобы поставить изучение случая на твердую математическую основу. 

Когда я еще учился в Принстоне, мой научный руководитель Яков Григорьевич Синай рассказал мне, что Алан Тьюринг – великий математик со страшной, трагической судьбой – начинал в теории вероятностей: его первая работа посвящена доказательству центральной предельной теоремы в форме Линдеберга. Тьюринг дал свое доказательство на 10 лет позже Линдеберга, но совершенно независимо [1]. Эта работа Тьюринга не была опубликована, но сейчас ее можно найти в электронном архиве Тьюрингав Кембридже .

Это показывается и тем, что попыток аксиоматизации теории вероятностей было много. Можно назвать и Рихарда фон Мизеса, и Сергея Натановича Бернштейна, и Бруно де Финнети. Связь теории вероятностей с теорией меры начали понимать до Колмогорова – например, Эмиль Борель (сам Колмогоров в предисловии к «Основным понятиям теории вероятностей» об этом пишет). Однако именно Андрей Николаевич Колмогоров дал окончательное построение аксиоматизации. 

Известно, что Н.Н. Лузин в одном из писем отговаривал А.Н. Колмогорова заниматься теорией вероятностей. «Прибавлю к этому, что то изменение в наших отношениях, которое я чувствую и которое нашло отражение вечером в Кремле, позволяет мне, как лицу много старшему Вас, сказать Вам, что мое желание, чтобы Вы несколько удалились от работ по теории вероятностей, – пишет Лузин. – И вовсе не потому, что Ваш вклад в нее не фундаментален: я прекрасно знаю, что он оценивается всеми, как равноценный вкладу классиков. Но самая-то теория вероятностей не стоит Вас: ее источники сомнительные („origine infernale“ – прямо заявляет Lebesgue), и ее действие на работающих в ней не положительное. Вам дан высокий дух, и я хочу, чтобы Вы его силы берегли для вещей, которые под силу очень немногим. Простите за откровенность». Здесь Лузин использует французский оборот “origine infernale” – адских корней этой теории. И вот о том увлекательном пути, как от «адских корней» математики пришли к строгой математической теории, я и расскажу. 

А что имеется ввиду под «адскими корнями»? 

Азартные игры, конечно. Если отвлекаться от истории теории вероятностей в древнем мире, о которой можно строить больше предположений, чем высказывать что-то точное, то фактически первое сочинение по теории вероятностей – это сочинение Джероламо Кардано, которое так и называется "De ludo aleae" («Об игре случая»). Речь в нем идет, разумеется, о расчетах в азартных играх. Вообще, Кардано – фигура удивительная, уникальная в истории науки. Мы подробно о нем поговорим.  

Переписка Паскаля и Ферма тоже всё время вертится вокруг азартных игр. Скажем, разбирается ситуация, в которой игроки играют в кости до пяти выигрышей, и пришлось прервать игру до того, как определился победитель. В какой пропорции следует разделить ставки, если игра прекратилась, когда у одного игрока три выигрыша, а у другого два. Вот эти «адские корни», за которыми мы и проследим.   

Можно ли сказать, что теория вероятностей – одна из ваших текущих специализаций? 

Я занимаюсь эргодической теорией, которая, конечно, очень связана с теорией вероятностей. Но тут можно привести шутливое высказывание Дж. Лео Дуба (Joseph L. Doob), замечательного американского исследователя  в области теории вероятностей, который, как мне рассказывали, приехав в Советский Союз, начал свое выступление словами: «Математика, как вы знаете, есть часть теории вероятностей». Это шутка, но, тем не менее, очень характерная.

Можно ли сказать, что в теории вероятностей сейчас наступил новый расцвет? 

Безусловно, теория вероятностей бурно развивалась весь XX век. Можно сказать, что сейчас очень известны исследования лауреата Филдсовской премии 2010 года Станислава Смирнова, связывающие теорию вероятностей, математическую физику и комплексный анализ. Вопросы моды всегда носят несколько случайный характер, поэтому я думаю, что нельзя сказать, что теория вероятностей является самой модной областью современной математики. 

Можно сказать, что удивительный расцвет переживает сейчас теория чисел. Доказана теорема Ферма, доказано существование бесконечного количества если не простых чисел-близнецов, то хотя бы дальних родственников и так далее. В прошлом году возникли продвижения в проблеме, которую поставили еще древние греки. 

Есть ли среди проблем тысячелетия, за которые обещаны крупные гонорары, те, что связаны с теорией вероятности? 

Вся математика в известной степени связана с теорией вероятности. По-видимому, можно сказать, что проблема, связанная с уравнением Навье-Стокса. В частности, Колмогоров написал знаменитые работы по теории турбулентности. Интересно, что эти работы он написал на физическом уровне строгости, эти работы были написаны как будто физиком, а не математиком, а математическое обоснование результатов Колморогова до сих пор остается открытым вопросом. Конечно, не удивительно, что объяснение турбулентности будет опираться на теорию случайных процессов, но так как этого объяснения пока нет, то это предположение остается спекулятивным. 

Как в России развивается теория вероятностей? Можно ли сказать, что она остается одной из ведущих стран в этой области математики? 

Да, конечно, в России и Франции теория вероятностей – традиционно краеугольный камень русской и французской математической школ. Пожалуй, в меньшей степени это можно сказать про англосаксонскую школу. 

А почему такой интерес к теории вероятности у русской и французской школ? 

Я думаю, что это обусловлено историей. Во Франции Паскаль, Ферма, Лаплас, ... В России исследования по теории вероятности восходят, по-видимому, к П.Л. Чебышеву, это петербургская школа, задолго до Колмогорова. Так что Чебышев, Ляпунов, Марков и потом, конечно, Колмогоров и его ученики. 

Сами творцы теории вероятности, не говоря уже о Колмогорове, например, академик А.А. Марков были людьми чрезвычайно яркими, очень необычными. Марков был знаменит не только математически, но и почти, можно сказать, скандально. В частности, он известен своим высказыванием по поводу 300-летия празднования царствующего Дома Романовых в 1913 году, что Академии наук было бы уместнее праздновать 200-летие закона больших чисел Бернулли (Ред.: такое предложение А.А. Марков сделал 12 января 1913 г. на Общем собрании и его идею поддержали, в частности, академики А.М. Ляпунов и В.А. Стеклов). Такое празднование Марков и организовал (Ред. в книге об А.А. Марковеотмечается, что торжественное заседание Академии наук, посвященное 200-летию закона больших чисел, состоялось 1 декабря 1913 г. Первым выступил А.В. Васильев с докладом«Вопросы теории вероятностей до теоремы Якоба Бернулли»).

Кроме того, Марков знаменит своим резким письмом в Священный синод по поводу отлучения от РПЦ графа Льва Толстого (1901). Позднее, в 1912 году, математик попросил отлучить и его от православной церкви, и синоду пришлось это сделать в 1912 году. Андрей Андреевич был чрезвычайно колоритной фигурой.

Примечания:

1. S. L. Zabell. Alan Turing and the Central Limit Theorem // The American Mathematical Monthly. Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 483-494.

6 февраля в рамках проекта «Публичные лекции "Полит.ру"» выступил доктор физико-математических наук Александр Игоревич Буфетов– ведущий научный сотрудник Математического института имени Стеклова, ведущий научный сотрудник ИППИ РАН, профессор факультета математики Высшей школы экономики, директор исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS). Тема его лекции «Математика случая. История теории вероятностей». 

 

 

Истоки теории вероятности лежат в практических задачах, встававших перед человеком. И это отнюдь не исключительно оценка возможного успеха в азартной игре. Например, уже в XIV веке в Нидерландах и Италии появились первые страховые общества, работавшие в сфере морской торговли. Чтобы их владельцы не разорялись, они должны были оценивать степени риска и правильно назначать страховые ставки. До появления математической теории вероятности было еще далеко, и решения эти принимались исходя из опыта.

Однако наиболее запоминающиеся первые шаги будущей математической теории связаны с анализом азартных игр. Игра в кости с древних времен была известна в Индии и в Греции, находки астрагалов с нанесенными на грани отметками встречаются в Междуречье и Помпеях.

В средние века люди стали задаваться вопросами, сколько возможных сумм очков получается при броске нескольких костей и сколькими способами достигается каждая из них. В 960 году епископ Виболд из французского города Камбре написал труд Ludus secularis, где впервые были подсчитаны возможные исходы бросания трех костей. Правда, их Виболд насчитал лишь 56. Но это число не отражает количество равновероятных возможностей, так как Виболд считал, например, что сумма равная четырем получается одним способом (2 + 1 + 1), тогда как реально вариантов, дающих такую сумму – три (2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2). Поэтому, если верить Виболду, суммы 3 (единственный возможный исход 1 + 1 + 1) и 4 равновероятны, хотя на самом деле это не так.

Позднее французский священник, врач и поэт Ришар де Фурниваль (1201–1259) также написал труд об азартных играх, где говорил: «Одинаковое число очков на трех костях можно получить шестью способами. Если число очков на двух костях совпадает, а на третьей от него отлично, то мы имеем 30 способов, поскольку одна пара могла быть выбрана шестью способами, а третье число лишь пятью. Если очки на всех костях различны, то мы имеем 20 способов, поскольку 30 раз по 4 равно 120, но каждая возможность появляется шестью способами. Таким образом, существует всего 56 возможностей». Тут интересно, что Фурниваль фактически подошел к вычислению числа исходов с учетом перестановок (6×1+30×3+20×6 = 216), но, подводя итог, повторил «ошибку Виболда» и назвал число 56.

Эта ошибка с количеством возможных исходов сохранялась очень долго. Например, в 1477 году Бенвенуто д’Имола написал комментарий к «Божественной комедии» Данте, где шестой главе «Чистилища» упоминается «игра в три кости». Бенвенуто д’Имола добросовестно изложил правила игры и вновь сказал, что число возможных исходов броска трех костей равняется 56.

Позднее итальянские математики стали ставить и более сложные задачи. Лука Пачоли (1445–1514) в книге «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» в частности задает такой вопрос: «Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката. В связи с некоторыми обстоятельствами игра прекращена до ее окончания, причем одна сторона в этот момент имеет 50, а другая – 30 очков. Спрашивается, какую долю общей ставки должна получить каждая сторона?».

Пачоли предлагал делить ставку пропорционально набранным очкам (5/3), однако это решение казалось ошибочным уже современникам. Никколо Тарталья (1499–1557), например, задавался вопросом: а что если игра была прервана не при счете 50:30, а при счете 50:0? Если принять решение Пачоли, то вся сумма должна достаться первой команде, хотя вторая явно сохраняла шансы на победу. Впрочем, найти верное решение не смог и Тарталья.

Знаменитый Джероламо Кардано (1501–1576) написал Liber de ludo aleae («Книга об игре случая» или «Книга об азартной игре», издана посмертно), где обобщил свои размышления об игре в кости, к которой он был неравнодушен. Книга содержала как психологические (например, как не попасться на удочку шулеру), так и математические сведения. Кардано правильно рассчитал число исходов во многих случаях, например, при бросании трех костей доля случаев, когда значения всех трех костей совпадают, равна 6/216, или 1/36. Он фактически сформулировал понятие вероятности: «Имеется одно общее правило для расчёта: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, которыми могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможных выпадений».

Следующим важным, во многом даже определяющим этапом в развитии математических представлений о вероятности стала переписка Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665). Эта переписка проходила в 1654 году, часть писем не сохранилось, но три письма Паскаля и четыре письма Ферма, дошедшие до нас, были опубликованы в 1679 году в Тулузе.

Паскаль и Ферма наконец-то сумел решить тот тип задач, который был придуман Лукой Пачоли. Вот, как это предлагается делать в письме Паскаля: «Вот примерно, что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, например, на три партии и каждым вложено по 32 пистоля. Предположим, что один выиграл две партии, а другой одну. Они играют еще одну партию, и если выигрывает первый, то он получает всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по две выигранных партии и, следовательно, если они намерены произвести раздел, то каждый должен получить обратно свой вклад в 32 пистоля. Примите же во внимание, монсеньер, что если первый выиграет, то ему причитается 64; если он проигрывает, то ему причитается 32. Если же игроки не намерены рисковать на эту партию, и хотят произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля верных, ибо в случае проигрыша я их все равно получил бы, но остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля».

В рассказе о дальнейшем развитии идеи вероятности в математике Александр Буфетов перешел к великим математикам XVIII – XIX веков. Яков Бернулли, Пуассон, Лаплас, Муавр и другие ученые действительно сделали немало для развития теории вероятности. Разивались и ее практические применения, которые быстро вышли за пределы азартных игр. Уже в XVI веке Джон Граунт, Вильям Пети и Эдмунд Галлей применяли ее методы в демографии. В астрономии и различных отделах физики развивалась теория ошибок наблюдений. К концу XIX века появилась статистическая физика.

Однако тут выясняется самый неожиданный момент, описанный в лекции Александра Буфетова. Теория вероятностей уже была, были получены немалы результаты (например, формулировка Яковом Бернулли закона больших чисел или исследование «цепей Маркова»), всё это преподавалось в вузах, но в то же время теория веротяностей всё еще не воспринималась как полноценная область математики. Например, формулируя центральную предельную теорему теории вероятностей Муавр и Лаплас не сопроводили свои выводы (верные) строгим доказательством.

Идея того, что вероятностные выкладки надо сопровождать математическим доказательством, последовательно проводилась русским математиком П. Л. Чебышевым и его учениками, но даже и у них теоремы о случайных величинах формулировались как теоремы математического анализа. Вместо случайной величины рассматривалась функция ее распределения и доказывалась теорема о функциях. Более того, так продолжалось и в XX веке. Одна из первых работ Алана Тьюринга была посвящена доказательству центральной предельной теоремы теории вероятностей и выполнена как доказательство теоремы о функциях.

Некоторым математикам была понятна необходимость создать аксиоматику теории вероятностей, на основе которой могла бы развиваться дальнейшая теория. В 1900 году Гильберт, формулируя перечень знаменитых «Проблем Гильберта», упомянул об этом в шестой проблеме – построении аксиом математической физики. Он говорил: «С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов».

В первые десятилетия XX века было несколько попыток создать систему аксиом теории вероятностей. Самые заметные из них принадлежали русскому математику Сергею Бернштейну, австрийцу Рихарду фон Мизесу, итальянцу Бруно де Финетти. Однако справиться с этой задачей смог Андрей Николаевич Колмогоров в работе «Основные понятия теории вероятностей».

Фоторепортаж